《3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数》学案

1 / 22 任意角和弧度制及任意角的三角函数 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 新课标 课时时长（分钟） 60 知 识 点 任意角的概念；象限角的概念及表示；同终边角的概念及表示 弧度的概念；角度与弧度的互化；扇形的弧长和面积公式 任意角的三角函数的定义；任意角的三角函数的的求法 三角函数值在各个象限的符号；诱导公式一（同终边角） ；有向线段与三角函数线 学习目标 1.了解任意角的概念 2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 学习重点 三角函数的定义及应用，三角函数值符号的确定 学习难点 三角函数的定义及应用 2 / 22 学习过程 一、课堂导入 在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险 我们利用以前学的角的范围是 0° 180° ，你还能算出他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗？ 3 / 22 二、复习预习 1初中我们已经学习过角，那么初中对角的定义是什么呢？所谓角就是_ 2角按大小进行分类，可分为锐角、钝角和直角锐角的范围为_，钝角的范围为_，直角的度数为_ 4 / 22 三、知识讲解 考点 1 角的有关概念 角的特点 角的分类 从运动的角度看 角可分为正角、负角和零角 从终边位置来看 可分为象限角和轴线角 与 角的终边相同 k· 360° (kZ) (或 k·2，kZ) 5 / 22 考点 2 弧度的概念与公式 在半径为 r 的圆中 分类 定义(公式) 1 弧度的角 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示 角的弧度数公式 |lr(弧长用 l 表示) 角度与弧度的换算 1° 180rad 1 rad 180 ° 弧长公式 弧长 l|r 扇形的面积公式 S12lr1 2|· r2 6 / 22 考点 3 任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 y 叫做 的正弦，记作 sin x 叫做 的余弦，记作 cos y x叫做 的正切， 记作 tan 各象限 符号 正 正 正 正 负 负 负 负 正 负 正 负 口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦 三角函数线 有向线段 MP 为正弦线 有向线段 OM为余弦线 有向线段 AT 为正切线 7 / 22 四、例题精析 【例题 1】 【题干】 (1)已知角 2k5(kZ)，若角 与角 的终边相同，则 ysin |sin |cos | cos tan |tan |的值为( ) A1 B1 C3 D3 (2)已知点 P(tan ，cos )在第三象限，则角 的终边在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 8 / 22 【解析】(1)选 B 由 2k5(kZ)及终边相同角的概念知， 的终边在第四象限，又 与 的终边相同，所以角 是第四象限角，所以 sin 0，cos 0，tan 0. 因此，y1111. (2)选 B 点 P(tan ，cos )在第三象限， tan 0，cos 0， 是第二象限角. 9 / 22 【例题 2】 【题干】已知角 的终边在直线 3x4y0 上，求 sin ，cos ，tan 的值 10 / 22 【解析】角 的终边在直线 3x4y0 上， 在角 的终边上任取一点 P(4t，3t)(t0)，则 x4t，y3t， r x2y2 4t23t25|t|. 当 t0 时，即 x>0 时，r5t，sin yr3t 5t35，cos x r4t 5t4 5，tan y x3t 4t34； 当 t0 时，即 x0 部分时，sin 35，cos 4 5，tan 3 4； 当角 的终边在直线 3x4y0 的 x<0 部分时，sin 35，cos 4 5，tan 3 4. 11 / 22 【例题 3】 【题干】已知在半径为 10 的圆 O 中，弦 AB 的长为 10， (1)求弦 AB 所对的圆心角 的大小； (2)求 所在的扇形弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S. 12 / 22 【解析】 (1)如图所示，过 O 作 OCAB 于点 C，则 AC5，在 RtACO 中， sinAOCACAO5 101 2， AOC30° ，2AOC60° . (2)60° 3， l|r103. S扇12lr1 2×10 3×10503. 又 SAOB12×10×10sin 325 3， S弓形S扇SAOB50325 350 33 2. 13 / 22 【例题 4】 【题干】 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点 P 的位置在(0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为_ 14 / 22 【答案】(2sin 2,1cos 2) 【解析】 因为圆心移动的距离为 2， 所以劣弧PA2， 即PCA2， 则PCB22， 所以 PBsin 22cos 2，CBcos 22sin 2，所以 xP2CB2sin 2，yP1PB1cos 2，所以OP(2sin 2，1cos 2) 15 / 22 五、课堂运用 【基础】 1若 k· 180° 45° (kZ)，则 在( ) A第一或第三象限 B在第一或第二象限 C第二或第四象限 D在第三或第四象限 16 / 22 2已知角 的终边经过点(3a9，a2)，且 cos 0，sin 0，则实数 a 的取值范围是( ) A(2,3 B(2,3) C2,3) D2,3 17 / 22 3点 P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动23弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为( ) A. 12，3 2B. 3 2，12C. 12，3 2D. 3 2，1218 / 22 【巩固】 4若点 P(x，y)是 300° 角终边上异于原点的一点，则yx的值为_ 19 / 22 5已知角 的终边过点 P(8m，6sin 30° )，且 cos 45，则 m 的值为_ 20 / 22 【拔高】 6已知一扇形的圆心角为 (0)，所在圆的半径为 R.若扇形的周长是一定值 C(C0)，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 21 / 22 7角 终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称(a0)，角 终边上的点 Q 与 A 关于直线 yx 对称，求 sin · cos sin · cos tan · tan 的值 22 / 22 课程小结 1.对任意角的理解 (1)“小于 90° 的角”不等同于“锐角”“0° 90° 的角”不等同于“第一象限的角”其实锐角的集合是|0° <<90° ，第一象限角的集合为|k· 360° <<k· 360° 90° ，kZ (2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等 2三角函数定义的理解 三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 sin y，cos x，tan yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为 r，则 sin yr，cos x r，tan y x.