高等数学II试题解答

高等数学II试题解答一、填空题（每小题3分，共计15分）1设由方程确定，则。2函数在点沿方向(4,0,-12) 的方向导数最大。3为圆周，计算对弧长的曲线积分=。4已知曲线上点处的切线平行于平面，则点的坐标为或。5设是周期为2的周期函数，它在区间的定义为，则的傅里叶级数在收敛于。二、解答下列各题（每小题7分，共35分）1 设连续，交换二次积分的积分顺序。解：2 计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域。 解：3 设是由球面与锥面围成的区域，试将三重积分化为球坐标系下的三次积分。 解：4 设曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数，且，求。 解：，。由与路径无关，得，即。解微分方程，得其通解。又，得。故5 求微分方程的通解。解：的通解为。设原方程的一个特解，代入原方程，得。其通解为 三、(10分)计算曲面积分，其中是球面的上侧。解：补上下侧。四、(10分)计算三重积分，其中由与围成的区域。解：五、(10分)求在下的极值。解：令，得。，为极小值点。故在下的极小值点为，极小值为。六、(10分)求有抛物面与平面所围立体的表面积。解：的面积为 平面部分的面积为。故立体的表面积为。七、(10分)求幂级数的收敛区间与和函数。解：收敛区间为。设，。故高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】考试日期：2009年院（系）别 班级 学号 姓名 成绩 大题一二三四五六七小题12345得分一、 填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量、满足，则 2、设，则 3、曲面在点处的切平面方程为 4、设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，则的傅里叶级数在处收敛于 ，在处收敛于 5、设为连接与两点的直线段，则 以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级二、 解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线在点处的切线及法平面方程2、求由曲面及所围成的立体体积3、判定级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？4、设，其中具有二阶连续偏导数，求5、计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部三、 （本题满分9分） 抛物面被平面截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值 四、 （本题满分10分）计算曲线积分，其中为常数，为由点至原点的上半圆周五、 （本题满分10分）求幂级数的收敛域及和函数六、 （本题满分10分）计算曲面积分，其中为曲面的上侧七、 （本题满分6分）设为连续函数，其中是由曲面与所围成的闭区域，求 -备注：考试时间为2小时；考试结束时，请每位考生按卷面答题纸草稿纸由表及里依序对折上交；不得带走试卷。高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】参考解答与评分标准 2009年6月一、 填空题【每小题4分，共20分】 1、； 2、；3、； 4、3，0； 5、.二、 试解下列各题【每小题7分，共35分】1、解：方程两边对求导，得， 从而，.【4】该曲线在处的切向量为.【5】故所求的切线方程为.【6】法平面方程为 即 .【7】、解：，该立体在面上的投影区域为.【2】故所求的体积为.【7】、解：由，知级数发散【3】 又,.故所给级数收敛且条件收敛【7】、解：， 【3】【7】、解：的方程为，在面上的投影区域为又，.【】故.【7】三、【9分】解：设为该椭圆上的任一点，则点到原点的距离为【1】令，则由，解得，于是得到两个可能极值点【7】又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得故 【9】四、【10分】 解：记与直线段所围成的闭区域为，则由格林公式，得【5】而【8】 【10】五、【10分】解：，收敛区间为 【2】又当时，级数成为，发散；当时，级数成为，收敛【4】故该幂级数的收敛域为【5】令（），则, () 【8】于是，（）.【10】六、【10分】解：取为的下侧，记与所围成的空间闭区域为，则由高斯公式，有. 【5】 .【7】而. 【9】. 【10】七、【6分】解：. 【2】. 【4】故 【6】