二次函数与三角形判定

二次函数与三角形判定1.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交A(1，0)、B两点，与y轴交于C(0，3)，顶点为D.(1)求抛物线表达式；(2)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三N的坐标第1题图解：(1).抛物线y=x2+bx+c过A(1,0)、C(0,3),1bc c30b，解得 b c2，3二抛物线表达式为y=x22x3;(2)由(1)知抛物线对称轴为x=-;b=1,则设N(1,n),易知2aB(3,0),则BN"4+n2,NC=、/13n2,BC=3地,如解图，连接NC、NB,若/BNC=90,则BC2=BN2+NC2,即18=4+n2+1+9+6n+n2, -n2+3n2=0,-3i/17解得n=2，317317、 N(1,-2一)或郎1,2);若/NBC=90,贝UNC2=BN2+BC2,即1+9+6n+n2=4+n2+18, .N(1,2);若/NCB=90,贝UBN2=NC2+BC2,即4+n2=1+9+6n+n2+18, N(1,-4).综上，当N(1,3*17)或N(1,3"17)或N(1,2)或N(1,224)时，以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形.2.已知抛物线y=-x2+2x+m-1过原点O,与x轴的另一个交点为A,顶点为D,我们称由抛物线的顶点和与x轴的两个交点组成的三角形为该抛物线的顶点三角形”.求m的值；(2)判断该顶点ADO”的形状，并说明理由；(3)将此抛物线平移后，经过点C(1,0),且顶点三角形”为等边三角形，求平移后的抛物线表达式.解：(1);抛物线y=-x2+2x+m-1经过坐标原点， 把(0,0)代入表达式得m-1=0,.m=1;该顶点ADO”为等腰直角三角形.理由如下：如解图，:m=1,.抛物线表达式为y=x2+2x,变形为y=-(x-1)2+1, 点D坐标为(1,1), .0口=亚把y=0代入表达式得，x1=0,X2=2,.A点坐标为(2,0), .AD=,OA=2, .OD=AD,OA2=OD2+AD2,./ADO=90, .ADO为等腰直角三角形；图图(3)如解图，设所求抛物线表达式为y=x2+bx+c,;抛物线经过点C(1,0),b+c=1，设点D为平移后抛物线顶点,4c+ b24),4c+b24.tan/DCE=tan60=-=小,2T两式联立，解得b=2忐+2,c=2a/31,(b=2,c=-1舍去)平移后抛物线的表达式为y=-x2+(2V3+2)x-1-2V3.3.已知抛物线y=-x2+2x-3.(1)说明抛物线与x轴的交点情况以及抛物线在坐标系中经过的象限；(2)将抛物线y=-x2+2x-3平移，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点，且点B的坐标为(2,0),顶点为点M.AABM恰好是等腰直角三角形，求平移后的抛物线的表达式.x轴没有交点；<a=1<0,抛物线开口向下，抛物线过第三、四象限；(2) ;抛物线是轴对称图形，.MA=MB,若ABM恰好是直角三角形，则MAXMB,设M(a,b),则平移后抛物线的表达式为y=-(x-a)2+b,如解图，当点Ai在点B左侧时，过点Mi作MiCix轴于点Ci,则BCi=MiCi=2-a=b,y=(xa)2+2a,把(2,0)代入y=(xa)2+2a,得0=(2a)2+2a,即a23a+2=0,解得ai=1,a?=2(不符合题意，舍去)，平移后抛物线的表达式为y=-(x-1)2+1;当点A2在点B右侧时，过点M2作M2c2,x轴于点C2,则BC2=M2c2=a2=b,.y=(xa)2+a2,把(2,0)代入y=(xa)2+a2,得0=(2a)2+a2,即a25a+6=0,解得a1=3,a2=2(不符合题意，舍去)，平移后抛物线的表达式为y=-(x-3)2+1.综上所述，平移后抛物线的表达式为y=-(x-1)2+1或y=(x3)21.