2024年新高考艺体生冲刺复习考点22 统计案例与决策问题（解析版）

考点22 统计案例与决策问题一两个变量的线性相关1.正相关：在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关2.负相关：在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关3.线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线4.判定两个变量正、负相关的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关(2)相关系数：r0时，正相关；r0时，负相关(3)线性回归直线方程中：>0时，正相关；<0时，负相关二回归方程1.最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法2.回归方程：方程x是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的回归方程，其中，是待定参数，3回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心，即回归直线经过点(，)(3)相关系数当r0时，表明两个变量正相关；当r0时，表明两个变量负相关r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性三独立性检验1.分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量2.列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为x1，x2和y1，y2，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表y1y2总计x1ababx2cdcd总计acbdabcd构造一个随机变量，其中nabcd为样本容量1比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法(1)通过计算K2的大小判断：K2越大，两变量有关联的可能性越大(2)通过计算|adbc|的大小判断：|adbc|越大，两变量有关联的可能性越大2独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成2×2列联表(2)根据公式K2计算K2的观测值k.(3)比较观测值k与临界值的大小关系，作统计推断考点一 线性回归方程【例1】（2024云南）某种产品2014年到2018年的年投资金额（万元）与年利润（万元）的数据统计如下，由散点图知，与之间的关系可以用线性回归模型拟合，已知5年利润的平均值是4.7年份20142015201620172018年投资金额万元12345年利润万元2.42.76.47.9(1)求表中实数的值；(2)求关于的线性回归方程参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，【答案】(1)；(2)【解析】（1）由题意得，解得（2）由题意得，,，故，则，故所求线性回归方程为【变式】1（2024北京）在一组样本数据（不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（    ）ABCD1【答案】A【解析】因为所有样本点都在直线上，所以它们负相关，相关系数为.故选：A.2（2024上·浙江宁波·高三统考期末）（多选）数字经济是继农业经济、工业经济之后的主要经济形态近年来，在国家的大力推动下，我国数字经济规模增长迅猛，“十四五”数字经济发展规划更是将数字经济上升到了国家战略的层面某地区2023年上半年月份与对应数字经济的生产总值（即GDP）（单位：亿元）如下表所示月份123456生产总值303335384145根据上表可得到回归方程，则（   ）AB与正相关C若表示变量与之间的相关系数，则D若该地区对数字经济的相关政策保持不变，则该地区7月份的生产总值约为亿元【答案】ABD【解析】对于A，所以，故A正确；对于B，因为，所以与正相关，故B正确；对于C，相关系数，故C错误；对于D，当时，故D正确.故选：ABD.3（2023·全国·高三校联考专题练习）某市政府为调查集贸蔬菜市场个体承包摊户年收入情况，随机抽取了6个摊户进行分析，得到样本数据，），其中和分别表示第个摊户和该摊户年收入（单位：万元），如下123456567798(1)请用相关系数判断该组数据中与之间线性相关关系的强弱（若，相关性较强；若，相关性一般；若，相关性较弱）；(2)求关于的线性回归方程；(3)若该集贸蔬菜市场个体承包摊户有300个，根据题设估计该集贸蔬菜市场个体承包摊户年收入总值.参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】(1)与之间具有较强的线性相关关系(2)(3)210万元【解析】（1）题意计算得，则，则，所以，所以相关系数，因为与的相关系数满足，所以与之间具有较强的线性相关关系（2）由（1）可得，所以（3）由题设得，可估计该集贸蔬菜市场个体承包摊户年收入总值约为（万元）考点二 非线性回归方程【例2-1】（2024·云南曲靖·统考一模）已知变量关于的回归方程为，若对两边取自然对数，可以发现与线性相关现有一组数据如下表所示：12345则当时，预测的值为（    ）ABCD【答案】C【解析】令，由可得，如下表所示：由表格中的数据可得，则有，解得，故，当时，.故选：C.【例2-2】（2024下·重庆·高三重庆一中校考开学考试）当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计表12345611.53612(1)公司拟分别用和两种方案作为年销售量关于年投入额的回归分析模型，请根据已知数据，确定方案和的经验回归方程；（计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位）(2)根据下表数据，用决定系数（只需比较出大小）比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为百万元时，产品的销售量是多少?经验回归方程残差平方和参考公式及数据：， 【答案】(1)，(2)的拟合效果好，预测销售量是千件【解析】（1），所以，所以.由，两边取以为底的对数得，即，所以，所以.（2），对于，；对于，所以的拟合效果好，当时，预测值千件.【变式】1（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）用模型拟合一组数据组，其中，设，得变换后的线性回归方程为，则（   ）ABC35D21【答案】B【解析】由题意得，故，即，故，解得.故选：B2（2024·四川成都）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：）与样本对原点的距离（单位：m）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计理的值（表中，）697.900.21600.1414.1226.13(1)利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型？(2)根据（1）的结果回答下列问题：建立关于的回归方程；样本对原点的距离时，金属含量的预报值是多少？附：对于一组数据，其线性相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，【答案】(1)更适宜；(2)；【解析】（1）由题的线性相关系数，的线性相关系数，因为，所以，所以更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型.（2）由（1），令，则，所以，则，即.当时，金属含量的预报值3（2023上·全国·高三专题练习）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含19，且不重复数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛参考数据：1 7500.370.55参考公式：对于一组数据，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.(1)赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y(秒/题)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下数据：x(天)1234567y(秒/题)910800600440300240210现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；(，用分数表示)(2)小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值【答案】(1).(2)分布列见解析，均值【解析】（1）解:因为，所以.因为，所以，所以，所以，所以所求回归方程为.（2）解：随机变量X的所有可能取值为3，4，5，.所以随机变量X的分布列为X345P.考点三 独立性检验【例3-1】（2023下·福建泉州）（多选）如图是调查某地区男、女中学生喜欢数学的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢数学的百分比，从图可以看出（    ）  A性别与喜欢数学无关B女生中喜欢数学的百分比为C男生比女生喜欢数学的可能性大些D男生不喜欢数学的百分比为【答案】CD【解析】由图可知，女生喜欢数学的占，男生喜欢数学的占，男生不喜欢数学的百分比为，故B错误，D正确；显然性别与喜欢数学有关，故A错误；男生比女生喜欢数学的可能性大些，故C正确.故选：CD.【例3-2】（2024·江西）2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：不太了解比较了解合计男生204060女生202040合计4060100(1)判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；(2)若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为，求的分布列及.附：