求函数值域方法及习题

真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。求函数值域的方法（1）直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为x|x0，值域为y|y0；二次函数的定义域为R，当a>0时，值域为；当a<0时，值域为（2）配方法：如果y=f(x)是二次函数或是可以化为二次函数的函数，则可以用配方法求值域.【例1】求下列函数的值域：（1）y=x2-4x+5； （2）y=x2-4x+5，x1,4； (3) y=x2+2x+4, x0,+（4）y=-x4+2x2+3； （5）y=； (6) y=4x+2x+1（7）y=； （8）y=sin2x-sinx+（3）基本不等式法：利用平均不等式求值域转化成型如：，用公式来求值域；【例2】求下列函数的值域： （1）y=,（x>0）； （2）y=4,（x0）； （3）y=,（0x2；（4）y=x(6-x)； （5）y=,（4）不等式性质法【例3】求下列函数的值域： （1）y=； （2）y=； （3）y= （4）y=10-； （2）y=； （3）y=（5）逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：或将求函数的值域转化为求它的反函数的值域.【例4】求下列函数的值域：（1）y=； （2）y=； （3）y=；（法一）反函数法：（法二）分离变量法：（6）函数单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域.【例5】求下列函数的值域：（1）y=x3+arcsinx； （2）y=(正常数a1,x1)；（3）y=； （4）y=（7）换元法（代数换元法）：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；【例6】（1）；（2）【解】（1）设，则，原函数可化为，原函数值域为说明：总结型值域，变形：或（2）三角换元法：，设，则，原函数的值域为（8）几何法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域；图像法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域【例7】（1）已知，求函数u=3x+4y的值域；（2）（3）对于圆x2+(y-1)2=1上任一点P（x，y），不等式x+y+m0恒成立，求实数m的取值范围；（4）求函数的值域.解：（2）问题转化为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1有公共点时，斜率的取值范围问题。现在只要求出k的最大和最小值即可。 （3） ， （4）数形结合法：，函数值域为（9）最值法：【例7】求下列函数的值域：拓展【例1】求函数f(x)=的值域：【例2】求函数f(x)=的值域是-1，9，求实数a、b值. 小结1熟练掌握求函数值域的几种方法，并能灵活选用；2求值域时要务必注意定义域的制约；3含字母参数或参数区间的一类值域问题要进行合理分类讨论；4用不等式求值域时要注意“=”的成立条件。5对于二次函数,若定义域为R时，当a>0时，则当时，其最小值；当a<0时，则当时，其最大值若定义域为x a,b,则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间a,b若a,b,则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值若a,b,则a,b是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值(3)若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；(4)当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 巩固练习夯实基础【题组一】1函数y=的值域是 ；3函数y=的值域是 ；4函数y=+1的值域是 ；5函数y=的值域是 ；6函数y=的值域是 7已知：点P（x，y）是圆x2+y2=9上的动点。求x+y的最大值。8函数的值域是 9函数的值域为10若函数在上的最大值与最小值之差为2，则11求函数y=|x+1|+|x-2|的值域（11. 解法1：将函数化为分段函数形式：，画出它的图象，由图象可知，函数的值域是y|y3解法2：（几何法或图象法）函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，易见y的最小值是3，函数的值域是3，+ 如图 ）12求函数的值域解：(换元法)设 则 t0 x=1-代入得 t0 y413某宾馆有相同标准的床位100张根据经验，当该宾馆每张床的床价不超过10元时，床位可以全部租出；当床价高于10元时，每提高一元，将有3张床位空闲为了获得较好的效益，该宾馆要给床位定一个合适的价格，条件是为方便结算，床位应为1元的整数倍；该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租收入必须高于支出，而且高出得越多越好，若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的支出费用后的收入），(1)把y表示为x的函数，并求出定义域；(2)试确定该宾馆床价定为多少时，既符合上述条件，又能使净收入最多？2(1)=(2)当x£10时，y£425;当x>10,则当x=22时，y有最大值约833元【题组二】1若函数y=x2-3x-4的定义域为0,m,值域为-25/4,-4,则m的取值范围是 3/2,33求下列函数的值域(1)y=(1-x2)/(1+x2); (2)y=(1-2sinx)/(1+sinx) (1) (0,1); (2) -1/2,+¥4已知1/2£t£1,则2/tt的最大值是 7/2(单调性求最值)5函数y= x22ax(0£x£1)的最大值是a2,那么实数a的取值范围是 1£a£0(配方法求二次函数的最值)6在区间1/2,2上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=2x+1/x2在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在区间1/2,2上的最大值是 4 ，平均值不等式求最值7函数在上的最大值与最小值的和为，则 28已知函数，构造函数，定义如下：当时，当时，那么（ B ）有最小值，无最大值 有最小值，无最大值有最大值，无最小值 无最小值，也无最大值9. 函数 ( D )(A) (- (B) (C) (-1,+ (D) (-10. 函数的值域是（ D ）A(B)(C) (D)11. 函数的值域为 。12. 的值域是_.13函数的最大值是（ D ）ABCD14函数的值域为 （ B ）A（ B C D15函数在上的值域是_0,16. 下列函数中，值域是（0，+）的函数是 （ D ）A B C D17. 已知函数在区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ D ）A、 1，+ B、0，2 C、（-，2） D、1，218. （04津）若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=（A ） A. B. C. D. /