级数的概念及性质

.-第十一章 无穷级数教学内容目录：§1§8本章主要内容：常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数，调和级数，P 级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。幂级数：幂级数概念，阿贝尔（Abel）定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的四则运算，和的连续性、逐项积分与逐项微分。泰勒级数，函数展开为幂级数的唯一性，函数（e 、x、x、ln(1+x)、(1+x)等）的幂级数展开式，幂级数在近似xsincosm计算中的应用举例，“欧拉（Euler）公式。函数项级数：函数项级数的一般概念，收效域及和函数。教学目的与要求：1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。2、掌握几何级数和 P级数的收敛性。3、掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。4、理解交错级数的审敛法（莱布尼兹定理）。5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7、掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10、掌握应用 ex,sinx,cox,en(1+x)和(1+x)u 的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的的函数间接展开成幂级数的方法。.-可修编.-11、了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirchet）条件，会将定义在（-,）上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在（-,）上的函数展开为正弦或余弦级数。本章重点与难点：重点:正项级数的审敛法；将一些简单的的函数间接展开成幂级数难点：应用逐项积分、逐项微分的性质求和函数、本章计划学时：16 学时（2 节习题课）教学手段：课堂讲授、习题课、讨论，同时结合多媒体教学推荐阅读文献：1.高等数学同步辅导(下) (第十一章)主编 同济大学应用数学系 彭舟航空工业2.高等数学名师导学(下) (第十一章)主编 大学数学名师导学丛书编写组中国水利水电3.高等数学双博士课堂(第十一章)主编 大学数学科学学院机械工业.-可修编.-作业：习题 111：2(2、4) 、3(2)、4(1、3、5)习题 112：1(1、3、5)、2(2、4)、3(1、3、4)、4(1、3、5)、5(1、3、5)习题 113：1(1、3、5、6、8)、2(1、3)习题 114：1、2(2、3、5)、4、6习题 117：1(1、3)、2(1)、4、6能力培养及措施:通过精讲多练,启发式教学, 讨论式教学,重点讲授重点、难点，自学部分内容,课堂讨论,结合习题课及多媒体教学培养学生的比较熟练的运算能力、逻辑推理的能力及抽象思维能力,推荐学生阅读相关文献培养学生自学能力.§11-1 常数项级数的概念和性质问题的提出计算半径为R 圆的面积用内接正 3×2 n 边形的面积逐步逼近圆面积：正六边形面积 A a ，正十二边形面积 A a +a,112正 3 ´ 2 n 形面积 A a +a +a12n若内接正多边形的边数 n 无限增大，则和 a +a +a 的极限就是所要求的12n圆面积 A 。这时和式中的项数无限增多，出现了无穷多个数量依次相加的数学式子。一、常数项级数的概念1.常数项级数如果给定一个数列 u ,u,u, ,u ,123n.-可修编.-则表达式u +u +u +u +(1)123n叫(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为å¥ u 即n =1¥=u+u+u+u +u -一般项åun123nnn =1n注 1：怎样理解级数中无穷多个数量相加呢？观察有限项和的变化趋势2.级数的部分和：前 n 项的和s= u+u+ +u = ån u(2)n12nii =1部分和数列s:s= us= u +un11212s = u +u +u +un123n3.级数的收敛与发散¥的部分和数列s 有极限s ，即lim s = s,定义（敛散性） 如果级数åunnn ®¥nn =1则称无穷级数å¥ u 收敛,极限 s 为这级数的和 ,并写成nn =1s = u+u +u +u +123n如果数列s没有极限,则称无穷级数 å¥ u 发散.nnn =1注 2：若级数收敛，s是和 S 的近似值， r= s - s= u+u+ 叫做级数的nnnn +1n +2余项,s 代替和 S 所产生的误差是该余项的绝对值，即误差是 r。nn例 1判别级数å1的收敛性.¥(n + 2)( n +3)n =1解 u=1-1nn +2n +3s = ån1= (1-1 ) + (1-1 ) + × × × + (1-1) =1-1n(k + 2)( k +3)3445n + 2n +33n +3k =1.-可修编.-lim s=1所以级数收敛 .，它的和是1 。n®¥n33例 2¥讨论等比级数(几何级数) åaq n (a 0,q ：级数的公比)的收敛性。n =0分析：若q ¹1 , s= a + aq + aq n -1 = a - aq nn1 - q当 q <1 时，lim q n= 0,lim s =a, 级数收敛，其和a. 当 q >1 时,n ®¥n ®¥n1 - q1 -qlim q n = ¥, lim s= ¥, 级数发散当 q =1时，级数发散。n ®¥n ®¥n即：若 q <1 ，级数收敛；若 q ³1 ，级数发散例 3 讨论调和级数å¥ 1n =1 + 12 + 13 + 1n + 的收敛性n =1分析因为x > ln (1 + x )(x > 0)1 > ln 2,1> ln 3,1> ln4,1> lnn +12233nn1111+ ln3+ ln4+ lnn +1( )+ + + > ln 223= ln n +123nnlim s= lim ln (n +1)= +¥所以级数发散 .n®¥nn®¥二、收敛级数的基本性质性质 1¥¥也收敛，且其和为k s .若级数åu收敛于和s ,则级数åk unnn =1n =1¥¥,则s= k s,分析：设åu与åk u 的部分和分别为s 与snnnnnnn =1n =1lim s= lim k s = k lim s = k s¥收敛，和为k s . 则åk un ®¥nn®¥nn®¥nnn =1由 s = k s 知，若s 无极限且k ¹ 0 ,则s 也无极限nnnn结论：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不会改变.¥= 3+ 3+ + 3 + 级数收敛；¥= 2+ 2+ +2 +级数发散å 3å22 n22 nn2nn =0n =1.-可修编.-¥¥¥±v )也收敛，且其和为s +s .性质 2 若åu、åv分别收敛于s 、s ,则å(unnnnn =1n =1n =1¥、¥：s、s¥+v ) 的部分和t= s±s分析：åuåv, å(unnnnnnnnnn =1n =1n =1lim t¥± v ) 收敛，且其和为 s ±s.= s ±s. 则å(un ®¥nnnn =1注 3：性质 2 也说成：两收敛级数可以逐项相加减.性质 3 在级数中去掉或加上有限项，不会改变级数的收敛性.分析：只需证明“在级数的前面部分去掉或加上有限项,不会改变级数的收敛性”,因为其他情形(即在级数中任意去掉、加上或改变有限项的情形)都可以看成在级数的前面先去掉有限项,然后再加上有限项的结果.将级数u +u