例析几类避免或简化分类讨论的技巧

例析几类避免或简化分类讨论的技巧内容摘要：分类讨论问题是高中生必须掌握的，然而分类讨论的繁杂过程，对于大家是非常棘手的问题，本文通过一些例题描述了如何有效的避免或者简化分类讨论。关键词：分类讨论 函数 分析 解答 随着高考对能力要求的提高，“分类讨论”越来越受到命题者的青睐，而同学们却因为“分类讨论”的繁杂、易错，总是对其心存恐惧.其实，相当多的“分类讨论”问题，都可以通过适当的方法，避免或简化其讨论的过程。 一、应用导数，避免讨论导数作为一种数学工具，解决与函数的单调性有关的内容，往往能起到避免讨论的作用。例1 已知函数和函数的图象关于原点对称，且（1）求的解析式；（2）若在上是增函数，求实数的取值范围。分析：这个题的（1）自然容易得到；（2）的在为增函数，我们容易想到分来讨论，即如下：当时，为一次函数，是增函数，所以；当时，的图象为二次函数，对称轴的方程为 当时，得到 当时，得到综上但是如果我在（2）的时用导数来解决，就可以避免讨论，具体如下：解：（2）由题得在为增函数所以在恒成立即 解之得：二、消去参数，以避免讨论大家知道，之所以要进行分类讨论，最重要的一个原因就是题中含有参数，所以，如果想办法消去题中的参数，就不用分类讨论。例2、设，且 试 比 较与的大小分析：按常规思路，本题需去绝对值，分设 和 进行讨论，但用这种方法很难得到正确结果。因此，我们通过“底数相同”这一特征，联想到换底公式，可以消去参数，从而避免分类讨论。解： ， ， .又 原式 > 1，>三、整体代换，简化分类讨论当需要分类讨论的问题涉及若干个体时，如能把若干个体视作一个整体处理，采用整体代换的换元技巧，往往可以使讨论得到简化。例 3 求的值域分析：对于表达式我们一看就知道先求出两段的值域再取它们的并集，其实我们发现在两段区间里可以如下操作： 评注：这种整体把握的思路，避开了教复杂的分类讨论.整体代换或整体处理，就是采用分解、组合等手段，将题目原有的整体结构变换成一种新的整体结构，从而化解难点.四、数与形结合，简化分类讨论数形结合是一种常用的数学思想方法，是通过“数”与“形”之间的转化来解决数学问题的思想.在需分类讨论的问题中，如能恰当的把问题的数量特征与图形分析结合，则有利于简化讨论例 4 已知在上的减函数，则的取值范围是（ ）.A B C D 分析：本题的常规解法是令，则 则 ， .在上 是 的减函数，于是（1）若 ，则是 在上的减函数，从而是 在上的增函数，但这与题意不符，因此这样的不存在；（2）若 ，则是 在上的增函数，从而是 在上的减函数，要使 是 在上的减函数，当且仅当， 综合（1），（2）知 选B。以上讨论思路也清楚，解法也正确，但过程较繁杂.若采用数形结合的方法，则简化了这种讨论.解：因为 表示斜率是，过点的一条 直 线，为 确 保 定 义 域上的 ，只需在时有（可简单构造减函数的直线）从而 ，又由函数的增减性知，故 的取值范围是。 评注：这一数形结合的思想巧妙把参数的分类讨论问题，转化为过定点的直线的斜率问题，使讨论过程大为简化。例 5 设 集 合 ，.若 ，求实数 的取值范围分析：若由得则 转 化 为 定 区 间上一元二次方程有解的问题，将有一场艰难的讨论，换一思路，集合 A、B 有明显的几何意义，集合 A 是抛物线上的点集，集合 B 是一条线段上的点集. ，只须两图形有交点解：若由得，所以，即 或而时抛物线与线段明显无交点，舍去.当时与线段相切的抛物线是 ，顶点纵坐标是 ，因为抛物线过定点（0，2）.或，而 时抛物线与线段无交点.。五、析出参数或主参易位，简化分类讨论有很多题目，已知参数的范围，要求主元的范围.我们不妨来个主参易位或单独把参数用主元表示出来，可避免或简化分类讨论。例 6 实数 a在什么范围内，方程 在上有解.解析：这是一道分类讨论题，常规思路是将原方程看成 的一元二次方程，在判别式 条件下，观察二次函数图象与 轴的交点是否落在区间内，进行讨论，过程较繁琐。若我们改变一下思维方式，分离出参数 ，.问题则转化为方程有解，只要在 所对应的的二次函数值域内，解得。分类讨论还是大家应该熟练掌握的基本方法，但是如果能简化这些这些讨论，则岂不更好！