甘肃省兰州第一中学2016届高三数学上学期9月月考试题

2015-2016-1学期高三九月月考数学试题一、选择题：（本大题共有12道小题，每小题5分，共60分）1已知集合,则( B )ABCD2. 下列函数中既是奇函数，又在上单调递增的是 （ C ）A B C D3. 给出两个命题:命题命题“存在”的否定是“任意”；命题：函数是奇函数. 则下列命题是真命题的是( C ) A. B. C. D. 4.若函数f(x)x2axa在区间上的最大值为1，则实数a等于( D )A1B1 C2 D 25 已知函数是函数的导函数，则的图象大致是( A ) A B C D6已知命题p：x22x30；命题q：xa，且的一个充分不必要条件是，则a的取值范围是 (B)A(，1B77. 已知函数f(x)mx2(m3)x1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是 ( B)A(0，2) B(，1 C(，1) D(0，28若f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为(C )A(1，) B(4，8) C B. (0，4 C. D11(文)已知是奇函数，则（ A ）A.14 B 12 C 10 D-811. (理)若函数的大小关系是 (C ) ABC D不确定12已知函数yf(x)为奇函数，且对定义域内的任意x都有f(1x)f(1x)当x(2，3)时，f(x)log2(x1)给出以下4个结论：其中所有正确结论的为 （ A ）函数yf(x)的图象关于点(k，0)(kZ)成中心对称；函数y|f(x)|是以2为周期的周期函数；函数yf(|x|)在(k，k1)(kZ)上单调递增； 当x(1，0)时，f(x)log2(1x)A B CD二、填空题（本大题共有4道小题，每小题5分,共20分）13.已知实数满足则的最大值_-4_14. 已知，则函数在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 .15. 若函数()满足且时，,函数,则函数在区间内零点的个数有_12_个.16. 存在区间（），使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4 个函数：； ； 其中存在“稳定区间”的函数有_ .（把所有正确的序号都填上）三、解答题(本大题共有5道小题，每小题12分,共60分)17.（本小题满分12分） 设向量，其中，函数的图象在轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与轴的第一个交点为.（）求函数的表达式；（）在中，角A，B，C的对边分别是，若，且，求边长解：解：（I）因为， -1分 由题意， -3分将点代入，得，所以，又因为 -5分即函数的表达式为 -6分（II）由，即又 -8分由 ，知，所以 -10分由余弦定理知 所以 -12分18.（文）（本小题满分12分）为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：评估的平均得分全市的总体交通状况等级不合格合格优秀 （）求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级；（）用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.【解析】：（）6条道路的平均得分为.-3分 该市的总体交通状况等级为合格. -5分（）设表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过”. -7分从条道路中抽取条的得分组成的所有基本事件为：，共个基本事件 -9分事件包括，共个基本事件， 答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为.-12分18.（理）（本小题满分l 2分）在2015年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题规定：至少正确回答其中2题的便可通过已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为，且每题正确回答与否互不影响(I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望；(II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力解析：(I)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为、，则的可能取值为1，2，3，P(1)，P(2)，P(3)，考生甲正确完成题数的分布列为123PE1×2×3×2. .4分又B(3，)，其分布列为P(k)C·()k·()3k，k0，1，2，3；Enp3×2. 6分(II)D(21)2×(22)2×(23)2×，Dnpq3××， D<D. .8分P(2)0.8，P(2)0.74，P(2)>P(2) 10分从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大因此可以判断甲的实验通过能力较强12分19（理）在四棱锥中，平面，是的中点， , .（）求证：；（）求二面角的余弦值ABCDPE解：（）取的中点,连接,则.因为所以.1分因为 平面，平面 所以 又 所以 平面 3分因为平面,所以 ；又 ，所以 ；又因为 , ；所以 平面 5分 因为平面，所以 6分（注：也可建系用向量证明）ABCDPEFyzx（）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则,，,，. 8分设平面的法向量为，则 所以令.所以. 9分由（）知平面,平面,所以.同理.所以平面所以平面的一个法向量 . 10分所以， 11分由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 12分ABCDPE19.(文)在四棱锥中，平面，是的中点， ,，.（）求证：平面；（）求证：证明：（）取的中点,连接,.则有 .ABCDPEFM因为 平面，平面 所以平面2分由题意知,所以 . 同理 平面4分又因为 平面,平面,所以 平面平面 因为 平面所以 平面 6分（）取的中点,连接,则.因为,所以 .7分因为 平面，平面，所以 又 所以 平面 9分因为平面所以 又 ，所以 又因为, 所以 平面 11分 因为平面 所以 12分20. (本小题满分12分) 已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（）求椭圆C的标准方程；（）若直线与椭圆C相交于A、B两点，且，判断AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由【解析】：(1)由题意知，即，又，故椭圆的方程为 4分(II)设，由得，. 7分8分, , , ,12分21（文）已知函数，其中aR.(1)当时，求曲线在点处的切线的斜率；(2)当时，求函数的单调区间与极值解：(1)当a0时，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，故f(1)3e.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为3e. 4分(2)f(x) ex 令f(x)0，解得x2a，或xa2， 6分由a知，2aa2.以下分两种情况讨论：若a>，则2a<a2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，2a)，(a2，)上是增函数，在(2a，a2)上是减函数函数f(x)在x2a处取得极大值为f(2a)，且f(2a)3ae2a.函数f(x)在xa2处取得极小值为f(a2)，且f(a2)(43a)ea2. 9分若