构造直角三角形快解三角形试题
中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)构造直角三角形.速解三角形试题避免使用正、余弦定理解三角形试题 在解三角形时,若能根据题中几何图形的特点,恰当地构造直角三角形,就可以充分利用直角三角形的性质,收到化难为易、事半功倍、出奇制胜的效果,达到速解三角形的目的.母题结构:(直角三角形的性质)直角三角形斜边的平方等于两个直角边平方之和;在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半;在直角三角形中,300角所对的直角边等于斜边的一半.解题程序:利用直角三角形性质解决问题的关键是构造直角三角形或取满足条件的直角三角形. 1.作高构造直角三角形 子题类型:(2004年上海春招试题)在ABC中,a、b、c分别是A、B、C所对的边.若A=1050,B=450,b=2,则c= .解析:如图,作ADBC于D,由A=1050,B=450BAD=450DAC=600C=300;由b=2AD=c=AB=2.点评:作三角形的高是构造直角三角形解决问题的基本思想方法;三角形的一条高把三角形分割为两个直角三角形,充分利用这两个直角三角形的性质和关系可别开生面的解决问题. 2.巧用特殊直角三角形 子题类型:(2015年重庆高考试题)在ABC中,B=1200,AB=,A的角平分线AD=,则AC= .解析:如图,作AHBC于H,由ABH=600,AB=AH=,又由AD=DH=ADB=450BAD=ABH-ADB=150BAC=300C=300AC=2AH=.点评:等腰直角三角形和含300角的直角三角形是二类特殊的直角三角形;构造并灵活运用这二类特殊直角三角形的性质是解决相关问题的关键. 3.妙用直角三角形解题 子题类型:(2013年山东高考试题)ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若B=2A,a=1,b=,则c=( )(A)2 (B)2 (C) (D)1解析:在RtABC中,C=900,A=300,满足题目条件,由a=1c=2.故选(B).点评:对于选择题,通过取满足条件的直角三角形或可直接得到问题的结果或可排除错误选项,间接得到问题的答案,秒杀该类问题. 4.子题系列:1.(2007年湖南高考试题)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=1,c=,C=,则A= .2.(2007年重庆高考试题)在ABC中,AB=,A=450,C=750,则BC= .3.(2015年安徽高考试题)在ABC中,AB=,A=750,B=450,则AC= .4.(2012年重庆高考试题)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=,cosB=,b=3,则c= .5.(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在ABC中,已知tanB=,sinC=,AC=3,则ABC的面积为 .6.(2010年高考课标试题)在ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=,ADB=1350.若AC=AB,则BD= .7.(2010年高考课标试题)在ABC中,D为边BC上一点,BD=DC,ADB=1200,AD=2,若ADC的面积为3-,则BAC= .8.(2005年江苏高考试题)ABC中,A=,BC=3,则ABC的周长为( )(A)4sin(B+)+3 (B)4sin(B+)+3 (C)6sin(B+)+3 (D)6sin(B+)+39.(2005年全国高考试题)在ABC中,己知tan=sinC,给出以下四个论断:tanAcotB=1;0<sinA+sinB;sin2A+cos2B=1;cos2A+cos2B=sin2C.其中正确的是( ) (A) (B) (C) (D)10.(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)在ABC中,a、b、c分别是角A、B、C所对边的边长.若cosA+sinA-=0,则的值是( ) (A)1 (B) (C) (D)2 5.子题详解:1.解:作BDAC于D,则BD=A=.2.解:作CDAB于D,则BD=a,AD=CD=a;由a+a=BC=a=3-.3.解:作ADBC于D,则AD=BD=,CAD=300AC=2.4.解:作CDAB于D,由b=3,cosA=AD=,CD=;又由cosB=tanB=BD=1c=AD+BD=.5.解:作ADBC于D,则AD=AcsinC=4,CD=BD=4ABC的面积=86.6.解:设BD=x,则CD=2x,作AHBC于H,由AD=,ADB=1350AH=DH=1AC2=(2x-1)2+1,AB2=(x+1)2+1;又由AC=AB(2x-1)2+1=2(x+1)2+2x2-4x-1=0x=2+.7.解:设BD=x,则CD=2x,作AHBC于H,由ADB=1200,AD=2DH=1,AH=;由ADC的面积为3-x=-1AC=(-1),AB=cosBAC=BAC=.8.解:当ABC是直角三角形,且B=时,ABC的周长=3+3.故选(D).9.解:由RtABC,C=900满足题目条件错误,正确.故选(B).10.解:由RtABC,A=B=满足题目条件=.故选(B).
