概率论与数理统计第二章课后习题答案
概率论与数理统计课后习题答案第二章 1.一袋中有5 只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最 大号码，写出随机变量X的分布律.【解】 故所求分布律 为X 345P 0.10.30.6 2.设在15只同 类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出 的次品个数，求：（1） X的分 布律；（2） X的分 布函数并作图；(3) .【解】 故X的分布律为 X 012P （2） 当x<0时， F（x）=P（Xx）=0当0x<1时 ，F（x）=P（Xx）=P(X=0)= 当1x<2时 ，F（x）=P（Xx）=P(X=0)+P(X=1)=当x2时， F（x）=P（Xx）=1故X的分布函 数 (3) 3.射手向目标独立 地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函 数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】 设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3. 故X的 分布律为X 0123P0.0080.0960.3840.512 分布函数 4.（1） 设随机变量X的分布律为 PX=k=， 其中k=0，1，2，0为常数，试确定常数a. （2） 设随机变量X的分布律为 PX=k=a/N， k=1，2，N， 试确定常数a. 【解】（1） 由分布律的性质知 故 (2) 由分布律的性质知 即 . 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则Xb（3，0.6）,Yb(3,0.7) (1) + (2) =0.243 6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降 落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【 解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则Xb(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有 即 利用泊松近似 查表得N9.故机场至少应配备9条跑道.7.有 一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.000 1,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊 松定理）？【解】设X表示出事故的次数，则Xb（1000，0.0 001） 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足PX= 1=PX=2，求概率PX=4.【解】设在每次试验中成功的概率为p，则 故 所以 . 9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X6（5，0.3） (2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Yb（7，0.3） 10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（ 2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】（1 ） (2) 11.设P X=k=, k=0,1,2PY=m= , m=0,1,2,3,4分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知PX1=，试求PY1.【解】因为，故.而 故得 即 从而 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算,得 13.进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.【解】1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：（1） 保险公司亏本的概率;（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元.设1年中死亡人数为X，则Xb(2500,0.002)，则所求概率为由于n很大，p很小，=np=5，故用泊松近似，有(2) P(保险公司获利不少于10000) 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P（保险公司获利不少于20000） 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X的密度函数为f(x)=Ae-|x|, -<x<+,求：（1）A值；（2）P0<X<1; (3) F(x).【解】（1） 由得故 .(2) (3) 当x<0时，当x0时， 故 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为f(x)=求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3） F（x）.【解】（1） (2) (3) 当x<100时F（x）=0当x100时 故 17.在区间0，a上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在0，a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.【解】 由题意知X0,a，密度函数为故当x<0时F（x）=0当0xa时当x>a时，F（x）=1即分布函数18.设随机变量X在2，5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】XU2,5，即故所求概率为19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求PY1.【解】依题意知，即其密度函数为该顾客未等到服务而离开的概率为,即其分布律为20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）.（1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1） 若走第一条路，XN（40，102），则若走第二条路，XN（50，42），则+故走第二条路乘上火车的把握大些.（2） 若XN（40，102），则若XN（50，42），则 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设XN（3，22），（1） 求P2<X5，P-4<X10，PX2，PX3;（2） 确定c使PXc=PXc.【解】（1） (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm）XN（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】 23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，2），若要求P120X2000.8，允许最大不超过多少？【解】 故 24.设随机变量X分布函数为F（x）=（1） 求常数A，B；（2） 求PX2，PX3
