山东省青岛市2024届高三下学期第一次适应性检测数学（解析版）

2024年高三年级第一次适应性检测数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 等比数列中，则（ ）A. 32B. 24C. 20D. 16【答案】A【解析】【分析】利用已知求出首项和公比,再求.【详解】由题得所以.故选：A.2. 在的展开式中，项的系数为（ ）A. 1B. 10C. 40D. 80【答案】D【解析】【分析】利用通项求解可得.【详解】通项公式为，当时，所以项的系数为80.故选：D3. 已知直线a，b和平面，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据题意，由空间中的线面关系，即可判断.【详解】根据线面平行的判定定理可得，若，则，即必要性成立，若，则不一定成立，故充分性不成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4. ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则ABC的面积为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理化边为角得，再利用三角形面积公式即可.【详解】根据正弦定理得，因为，则，所以，解得， 所以.故选：A.5. 2024年2月4日，“龙行中华甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：cm，cm，cm，若，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据给定图形求出圆心角，再利用扇形面积公式计算即得.【详解】显然为等腰三角形，则，即，于是，所以璜身的面积近似为.故选：C6. 记正项等差数列的前n项和为，则的最大值为（ ）A. 9B. 16C. 25D. 50【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的求和公式计算可得，利用基本不等式计算即可得出结果.【详解】，又，当且仅当时，取“=”的最大值为25.故选：C7. ，则的值为（ ）A. 2B. 1C. 0D. 1【答案】B【解析】【分析】利用赋值法求出的值，将变形为，即可推出，可得函数周期，由此即可求得答案.【详解】由题意知，令，则显然时，不成立，故，故，则，即6为函数的周期，则，故选：B8. 已知，设点P是圆上的点，若动点Q满足：，则Q的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，点在的平分线上且，由此作出图形，利用等腰三角形“三线合一”与三角形中位线定理，证出，从而得到的轨迹方程.【详解】由，可得，而，可知点在的平分线上.圆，圆心为原点，半径，连接，延长交于点，连接，因为且，所以，且为中点，因此，点在以为焦点的双曲线上，设双曲线方程为，可知，由，得，故，双曲线方程为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将题中的转化为在的平分线上，进而证明为等腰三角形，将转化为得出所求轨迹为双曲线.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ）A. 事件与是互斥事件B. 事件与是对立事件C. 事件与是互斥事件D. 事件与相互独立【答案】AB【解析】【分析】利用互斥，对立，相互独立的概念逐一判断.【详解】对于AB：取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，故事件与是互斥事件，也是对立事件，AB正确；对于C：如果取出的数为，则事件与事件均发生，不互斥，C错误；对于D：，则，即事件与不相互独立，D错误；故选：AB.10. 已知复数z，下列说法正确的是（ ）A. 若，则z为实数B. 若，则C. 若，则的最大值为2D. 若，则z为纯虚数【答案】AC【解析】【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】设，则，若，即，即，则z为实数，故A正确；若，即，化简可得，即，即，当时，此时不一定满足，当时，此时不一定满足，故B错误；若，即，所以，即表示以为圆心，以为半径的圆上的点，且表示圆上的点到原点的距离，所以的最大值为2，故C正确；若，即，即，化简可得，则且，此时可能为实数也可能为纯虚数，故D错误；故选：AC11. 已知函数，则（ ）A. 在区间单调递增B. 的图象关于直线对称C. 的值域为D. 关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为【答案】BCD【解析】【分析】利用符合函数的单调性判断A，计算出即可判断B，利用换元法求出函数的值域，即可判断C，求出函数在上的单调性，即可画出函数在区间的图象，结合图象分类讨论，即可判断D.【详解】对于A：当时，所以，因为在上单调递增，又，所以，因为，即，所以，即，所以，所以，又在上单调递增，在上单调递减，所以在上不单调，即在区间不单调，故A错误；对于B：因为，所以的图象关于直线对称，故B正确；对于C：因为，令，则，令，则在上单调递增，在上单调递减，又，所以，所以的值域为，故C正确；对于D：当时，所以，由A选项可令且，则当时单调递增，令，即时在上单调递增，且，所以在上单调递减，又，令，即时在上单调递减，且，所以在上单调递增，当，即时在上单调递减，且，所以在上单调递减，又，所以在上的函数图象如下所示：由图可知：当时与有且仅有一个交点，即关于的方程在区间的实数根为；当或时与有两个交点，即关于的方程在区间有两个实数根，且两根关于对称，所以两根之和为；当时与有四个交点，即关于的方程在区间有四个实数根，不妨设为且，所以与关于对称，与关于对称，所以；当或时与无交点，即关于的方程在区间无实数根；综上可得，若关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为，故D正确；故选：BCD【点睛】关键点点睛：对于D选项关键是分析出函数的单调性，结合函数图象，将方程的解转化为函数与函数的交点问题，结合函数的对称性求出方程的根的和.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分12. 已知集合，则的所有元素之和为_【答案】0【解析】【分析】求出集合B，再求，然后可得.【详解】由题知，所以，所以的所有元素之和为.故答案为：013. 已知O为坐标原点，点F为椭圆的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，则C的离心率为_【答案】【解析】【分析】先结合图形求得，代入椭圆方程构造齐次式，然后可解.【详解】由椭圆的对称性可知，垂直于x轴，又，所以，所以为等腰直角三角形，故，所以，即，所以，整理得，解得或（舍去），故.故答案为：14. 已知球O的表面积为，正四面体ABCD的顶点B，C，D均在球O的表面上，球心O为的外心，棱AB与球面交于点P若平面，平面，平面，平面，且与之间的距离为同一定值，棱AC，AD分别与交于点Q，R，则的周长为_.【答案】#【解析】【分析】结合球的表面积公式，根据正三角形外接圆的性质求得边长，利用三点共线及数量积的运算律求得，然后利用平行平面的性质求得，再利用余弦定理求得，即可求解的周长.【详解】设与之间的距离为d，设球O的半径为R，则由题意得，解得，所以，所以，所以，由A，P，B三点共线，故存在实数使得，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以，又且与之间的距离为d，则，所以，所以，又，所以的周长为.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查学生的空间想象能力，解题关键是找到点的位置本题中应用正四面体的性质结合球的半径，求出边长，利用平行平面的距离，得到所求三角形的边长即可求解.四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. 为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1（1）根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于80，100）的人数记为，求随机变量的分布列与数学期望【答案】（1）67（分钟） （2）分布列见解析；期望为1【解析】【分析】（1）根据平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和求解；（2）依题意求出随机变量的分布列，并利用数学期望公式求解.【小问1详解】由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，日均阅读时间的平均数为：（分钟）【小问2详解】由题意，在60，80），80，100），100，120三组分别抽取3，2，1人的可能取值为：0，1，2则 所以的分布列为：01216. 已知函数（1）若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程；（2）讨论的单调性【答案】（1） （2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导，根据可得，即可利用点斜式求解，（2）求导，结合分类讨论求解导函数正负，结合二次方程根的情况，即可求解.小问1详解】当时，解得又因为，所以切线方程为：，即【小问2详解】的定义域为，当时，得恒成立，单调递增当时，令，（i）当即时，恒成立，在单调递增（ii）当即时，由得，或，由得，所以在，单调递增，在单调递减综上：当时，在单调递增；当时，在，单调递增；在单调递减