函数奇偶性的六类经典题型

奇偶性 类型一：判断奇偶性例1 判断下列函数奇偶性（1）（且）（2）（3）（4）（5）解：（1）且 奇函数（2），关于原点对称 奇函数    （3），关于原点对称      既奇又偶（4）考虑特殊情况验证：   ；     无意义  ；  非奇非偶（5）且，关于原点对称  为偶函数类型二：根据奇偶性求解析式1.函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)1，则当x<0时，f(x)_.解析：f(x)为奇函数，x>0时，f(x)1，当x<0时，x>0，f(x)f(x)(1)，即x<0时，f(x)(1)1.答案：12.求函数的解析式（1）为R上奇函数，时，解：时，   （2）为R上偶函数，时，解：时， 类型三：根据奇偶性求参数1.若函数f(x)= xln（x+）为偶函数，则a= 【解题指南】f(x)= xln（x+）为偶函数，即是奇函数，利用确定的值.【解析】由题知是奇函数，所以=，解得=1.答案：1.2.函数f(x)为奇函数，则a_.解析：由题意知，g(x)(x1)(xa)为偶函数，a1.答案：13.已知f(x)3ax2bx5ab是偶函数，且其定义域为6a1，a，则ab()A.B1C1 D7解析：选A因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a1a0，所以a.又f(x)为偶函数，所以3a(x)2bx5ab3ax2bx5ab，解得b0，所以ab.4.若函数f(x)|xa|为偶函数，则实数a_. （特殊值法）解析：由题意知，函数f(x)|xa|为偶函数，则f(1)f(1)，1|1a|1|1a|，a0.答案：05.已知函数f(x)为奇函数，则ab_.（待定系数法）解析：当x>0时，x<0，由题意得f(x)f(x)，所以x2xax2bx，从而a1，b1，ab0.答案：06.（1），为何值时，为奇函数；（2）为何值时，为偶函数。答案：（1）（恒等定理） 时，奇函数（2）      （恒等定理）    7.已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值；（特殊值法）（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；解析：（）简 解：取特殊值法因为是奇函数，所以=0，即又由f（1）= - f（-1）知（）由（）知，易知在上为减函数又因是奇函数，从而不等式： 等价于，因为减函数，由上式推得：即对一切有：，从而判别式类型四：范围问题1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是()A(，1)(2，) B(1,2)C(2,1) D(，2)(1，)解析：选Cf(x)是奇函数，当x0时，f(x)x22x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2a2)f(a)，得2a2a，解得2a1.2.定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)上递增，且f 0，则满足f(x)>0的x的集合为_解析：由奇函数yf(x)在(0，)上递增，且f 0，得函数yf(x)在(，0)上递增，且f 0，f(x)>0时，x>或<x<0.即满足f(x)>0的x的集合为.答案：3.已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)ln(1x)，函数f(x)若f(2x2)>f(x)，则实数x的取值范围是()A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1,2) D(2,1)解析：选D设x>0，则x<0.x<0时，g(x)ln(1x)，g(x)ln(1x)又g(x)是奇函数，g(x)ln(1x)(x>0)，f(x)其图象如图所示由图象知，函数f(x)在R上是增函数f(2x2)>f(x)，2x2>x，即2<x<1.所以实数x的取值范围是(2,1)4.定义在R上的奇函数f(x)，当x(0，)时，f(x)log2x，则不等式f(x)1的解集是_解析：当x0时，x0，f(x)f(x)log2(x)，f(x)f(x)1或或0x或x2.5.已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x23x2.若当x1，3时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为()A. B2C. D解析：选A.设x0，则x0，所以f(x)f(x)(x)23(x)2x23x2.所以在1，3上，当x时，f(x)max；当x3时，f(x)min2.所以m且n2.故mn.6.已知f(x)是定义在2,2上的奇函数，且当x(0,2时，f(x)2x1，又已知函数g(x)x22xm.如果对于任意的x12,2，都存在x22,2，使得g(x2)f(x1)，那么实数m的取值范围是_解析由题意知，当x2,2时，f(x)的值域为3,3因为对任意的x12,2，都存在x22,2，使得g(x2)f(x1)，所以此时g(x2)的值域要包含3,3又因为g(x)maxg(2)，g(x)ming(1)，所以g(1)3且g(2)3，解得5m2.类型五：奇偶性+周期性1.f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x2)f(x)，当x(0,1)时，f(x)2x2，则f(6)的值等于()A B C. D解析：f(6)f(6)f(log26)f(log262)(2log2622)，故选C.2. 定义在R上的偶函数f(x)满足对任意xR，都有f(x8)f(x)f(4)，且x0,4时，f(x)4x，则f(2 011)的值为_解析：f(4)0，f(x8)f(x)，T8，f(2 011)f(3)431.类型六：求值1.已知函数f(x)是定义在(2,2)上的奇函数，当x(0,2)时，f(x)2x1，则f的值为()A2 B C2 D.1解析：当x(2,0)时，x(0,2)，又当x(0,2)时，f(x)2x1，f(x)2x1，又因为函数f(x)是定义在(2,2)上的奇函数，f(x)f(x)2x1，x(2,0)时，f(x)1.2log20，f(log2)12.故选A.答案：A2.已知f(x)为奇函数，g(x)f(x)9，g(2)3，则f(2)_.解析：根据已知g(2)f(2)9，即3f(2)9，即f(2)6.答案：63.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)xex(e为自然对数的底数)，则f(ln 6)的值为_由f(x)是奇函数得f(ln 6)f(ln 6)(ln 6)eln 6ln 6.答案：ln 64.已知函数存在最大值M和最小值N, 则MN的值为_5.设函数，若函数的最大值是M，最小值是m，则_.分析：本题是一道自编题，学生不假思索就会想到对求导.事实上，理科学生，求导得，无法找到极值点，而文科学生不会对这个函数求导.因此，须从考察函数的性质下手，事实上，令，易求得，所以是奇函数，所以的最大值与最小值之和是0，从而的最大值与最小值之和是6. 答案是：6.6.已知定义域为R的函数 （a、bR）有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】试题分析：由已知，注意到是奇函数，所以，所以.