高中数学《导数的概念》公开课优秀教学设计

1课题：导数的概念课题：导数的概念一、教学内容解析一、教学内容解析导数的概念是选修 2-2第一章第 1.1 节中第 1.1.2 小结的内容，是高中数学的一节概念课.数学学习离不开推理，推理离不开判断，而判断是以一切概念为基础的.因此，数学教师必须要重视概念的教学.纵观导数及其应用这章内容，导数以高起点，高观点和更一般的方法简化了中学数学中许多与函数相关的问题.导数的出现也为我们今后微积分的发展提供了方法和工具，从而使得它在其它学科领域也有了广泛的应用.但我们又不能将导数作为一种规则和步骤来学习，否则，学生很难体会导数的思想及其内涵，这样导数概念的学习就至关重要.一般地，导数概念学习的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限的形式化定义.因此，我们对导数概念的引入从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数.我们将导数概念的建立分为两个阶段，在明确瞬时速度含义的基础上，将瞬时速度一般化，即抽象为一般的函数，从而形成导数的概念.第一阶段：明确瞬时速度的含义及平均速度与瞬时速度的区别和联系.让学生在观察实验的同时，体会当变小，趋于时，趋于一个定值，这个定值就是瞬时速度.在经历平均速度到瞬时速度的过|t0ts 程中，第一次体会逼近的数学思想.第二阶段，将平均速度和瞬时速度抽象为一般的表达式，完全转化为数学问题，在揭示研究瞬时变化率必要性的同时，用类比的思想方法，经历从平均变化率到瞬时变化率的过渡，再次体会逼近的思想方法.最后，建立导数的概念.因此，根据以上对教学内容的分析，确立本节课的教学重点：在充分经历导数概念的建立过程中，体会逼近的数学思想，理解导数的思想及其内涵.二、教学目标二、教学目标1.在导数概念建立的过程中，引导学生通过观察、数值逼近、几何直观感受、解析式抽象、类比等方法体会数学概念的发生和形成.2.理解导数的概念，初步掌握导数的计算方法，并在具体数学问题中进一步理解导数的概念.3.通过对瞬时速度、瞬时变化率的探索，激发学生对本部分内容学习的兴趣.三、学生学情分析三、学生学情分析1.导数是对变化率的一种“度量”.实际生活中，学生最为熟悉的一种变化率就是物体的运动速度.学生在 1.1.1 小结学习了导数的物理意义，掌握了变化率，在高一年级的物理课程中学习过瞬时速度，因此，2学生已经具备了一定的认知基础，他们不会对新知识感到无所适从.2.可能存在的问题：（1） “逼近”的思想对于学生而言，还是比较陌生，需要精心设计教学活动，比如借助物理知识等，激发学生的兴趣，从学生已有的知识背景出发，帮助学生经历从平均速度到瞬时速度，从平均变化率到瞬时变化率的过渡.（2）使学生能通过观察发现：运动的物体在某一时刻的平均速度在时间间隔越来越小时，逐渐趋于一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度.这个过程学生难以想象，同时数值逼近的运算繁琐，但又不能采取简单的方式告知学生，而是要学生通过实际的计算，在计算过程中，充分感知当趋于时，趋于一个定值；当趋于时，趋于|t0th |x0xy 一个定值.（3）在实际教学中，学生需要用到思想方法和表达形式的迁移，即把从平均速度到瞬时速度过渡中所运用的“逼近”的思想方法迁移到从平均变化率到瞬时变化率的过渡，从对一个具体函数在一个确定点的瞬时变化率的表达式迁移到任意一个函数在任意一点的瞬时变化率的表达，这样的探究方法可能会导致学生的不适应而产生困难.因此，如何引导学生根据生活中具体的实例，结合已有的知识经验，通过“逼近”的方法，由特殊到一般，用类比的方法归纳探究出导数的概念是本节课的难点.四、教学策略分析四、教学策略分析根据学生情况，为了完成本节课的教学目标，突破教学重难点，主要采取教师问题引导，学生自主探究、归纳的教学方法.具体的策略有:1.从具体到抽象的教学方法.学生由生活中的具体实例和已有的知识背景出发，历经平均速度到瞬时速度的过渡，再把物体的运动变化量抽象为一般的函数，从而得到瞬时变化率的概念.2.从特殊到一般的教学方法.让学生在知道是的瞬时速度以后，直观地理解运动员在任意时刻2t的瞬时速度.同样，在学生探究出一个指定函数在某一点处的瞬时变化率之后，可以归纳出一般函数在t任意一点的瞬时变化率.3.几何直观感受.通过几何画板的演示让学生形象的感知“逼近”. 4.利用计算器进行分组合作，取不同的，计算以及的值.txth xy 3预 计 时 间教 学 内 容教师活动学生活动教学评价15 分 钟1 1 回回 顾顾 复复 习习实实 例例 研研 究究讲授：讲授：上节课我们通过气球膨胀率、高台跳水的实例，建立起了平均变化率的概念.也请大家计算了高台跳水运动员在这段时间里的平均速度.49650 t经过计算，大家发现运动员在这段时间里的49650 t平均速度是 0.难道说运动员在这段时间是静止的？显然，运动员在这段时间里不是静止的.由此可见，用平均速度描述运动员的运动状态是有一定的局限性.所以我们说“平均速度”只能粗略地描述运动员的运动状态.还有一种速度，它能更精确地刻画运动员在每个时刻的运动状态，我们称之为：瞬时速度.那如何求运动员的瞬时速度呢？比如，高台跳水运动员在时的瞬时速度是多少呢？大家有没有好的想法？st2讲授：讲授：我们来看物理中测瞬时速度的小视频.问：问：观看的时候思考仪器在测量瞬时速度时的工作原理是什么？问：问：这里所得的真是瞬时速度吗？为什么？.问：问：对，也就是我们很难测量到真正的瞬时速度，我学生思考.学生思考.找 不到好的方法来求 运动过程中的瞬时 速度.根据已有的物 理知识，学生回答 仪器是通过测量气轨上滑块在时t 间内滑过的距离，用计算而ss t 得.学生回答不是.组织学 生讨论、交 流计算结果， 激发学生的 求知欲.明 确本节课的 教学内容.平均速 度为 0？通 过计算结果 与学生的认 知产生冲突.在实例观 察中，感受 逼近的思想， 为求瞬时速 度奠定基础.4们测量到的是千分之一，万分之一秒，以致更短时间间隔内的平均速度. 那如何使得平均速度更接近瞬时速度呢？ 讲授：讲授：对.那如果我们想求高台跳水运动员在时st2的瞬时速度，就考察附近的情况，在之前或者st22t之后，任意取一个时刻.可以是正直，也可以是负t2t值，但不为当取不同值时，计算平均速度0t.thth thv)2()2(我们先看运动员在内的平均速度.请看表格：2 ,2t大家发现了什么特点？再看运动员在内在的平均速度.请看表格：2 , 2t2,2+tt>0平均速度2,2.10.1-13.1492,2.010.01-13.10492,2.0010.001-13.100492,2.00010.0001-13.1000492,2.000010.00001-13.10000492,2.0000010.000001-13.100000492,2.00000010.0000001-13.10000005大家有发现了什么特点？通过这两个表格的对比，你们发现了什么？2+t,2t<0平均速度1.9,2-0.1-13.0511.99,2-0.01-13.09511.999,2-0.001-13.099511.9999,2-0.0001-13.0999511.99999,2-0.00001-13.09999511.999999,2-0.000001-13.099999511.9999999,2-0.0000001-13.09999995答：答：时间间隔 越小越好.使得变小.t学生利用计算 器，分小组合作. 每个小组随意选择几个的值，计t算的值.th 答：答：当趋近t于时，从 2 的右0边接近 2 时，平均速度趋于一个确定的值.1 .13答：答：当趋近t于时，从 2 的左0边接近 2 时，平均速度趋于一个确定的值.1 .13 学生回答.5对，当趋近于 0 时，即无论从的左边，还是右边，t2趋近于时，平均速度都趋近于一个确定的值.我们就21 .13把1 .13讲授：讲授：我们用这个方法得到了高台跳水运动员在附均速度逼近一个确定的常数.那其他时刻呢？st2比如、等？st5 . 2st3请大家按照刚才我们探究时的过程，用你手中的st2计算器，分别计算、这两个时刻附近的平均st5 . 2st3速度.请两个同学把小组计算出来的数据输入 Excel 表格.附近的平均速度变化：st5 . 2附近的平均速度变化：st3讲授：经过以上三个时刻的计算，大家都发现：当时间间隔很小，也就是当两个时间的端点无限靠近时，就逼近了一个时刻，我们就把平均速度用为瞬时速度的近似值.之前我们在学习函数零点的时候，利用“二分法”逼近函数零点. 今天，根据上面的讨论，我们又用平均速度逼近了瞬时速度，这都体现了我们数学中无限逼近的思想.学生分组合作， 思考、计算、讨论.学生总结计算 结果.让学生 熟悉符号， 在亲自计算 的过程中感 受逼近的思 想.从特殊 到一般，让 学生直观地 理解运动员 在任意时刻 的瞬时速t 度.610 分 钟2 自自 主主 探探 究究形形 成成 概概 念念讲授：讲授：对于高台跳水运动员的运动时刻，我们有这样的结论，那其他运动会吗？如果我们把运动员的运动变化抽象为一个函数，也有这样的结论吗？其实，物体的运动变化量可以抽象成一个函数，这样我们用到的就可( )yf xth 以用一个跟为一般烦人表达式来表达，而就是我们y x y x 上节课所学的平均变化率.我们可以用它来刻画一个函数在某个区间的变化趋势.问：问：那如何更好地刻画一个函数的变化趋势呢？为了探讨这个问题，我们来做这样的两个实验活动：实验活动实验活动 1：求函数：求函数，从从到到yx2yxyx0的平均变化率？的平均变化率？1 问：问：是不是这三个函数在 0 到 1 的变化趋势是一样的呢？讲授：讲授：由此可见，正如平均速度只能粗略反映物体在某个时间段的运动状态，而要想更为精确的刻画物体在某个时刻的运动状态，我们只能通过瞬时速度.由此类比，对于函数来说，平均变化率也只能粗略的描述函数的变化趋势，那如何精确的描述函数的变化呢？问：问：那如何求函数在某一点处的瞬时变化率呢？讲授：讲授：下面我们就做另一个实验活动，看一下，当缩短时，平均变化率发生了什么样的变化？请大家分组x合作.实验活动实验活动 2：已知函数：已知函数 ，分别计算，分别计算 f(x)在下在下2( )f xx答：答：根据平均 变化率的公式2121()( )yf xf x xxx计算得这三个函 数在同一个变化区 间上平均变化率都 是 .1 但根据图像发 现这三个函数在 0 到 1 的变化趋势是 不一样的.答：答： 瞬时变化率.答：答：把区间缩x短.这个计算与学生的认知发生了冲突。同时也让学生认识到平均变化率只能粗略的描述函数的变化.由上面从平均速度到瞬时速度的过渡，由对瞬时速度的形成和理解，学生很容易联想到可以用一个词，叫做“瞬时变化率” 。用它可以精确的描述函数在某一个7列区间上的平均变化率：列区间上的平均变化率： 结论：结论：用几何画板演示：用几何画板演示：讲授：讲授：我们就把 2 记作是在处的瞬时变2( )f xx1x 化率，用数学语言表达就是 . 0(1)(1)lim2 xfxf x 讲授：讲授：这样，我们就实现了从平均变化率到瞬时变化率的过渡.得到了一个具体函数在处的瞬时变化2( )f xx1x 率.问：问：那对于任意一个函数在处的瞬时变化率( )f x0xx该怎么表示？讲授：讲授：一般地，函数在处的瞬时变化率( )yf x0xx是 ： 000()()lim xyf xxf x xx 学生分组合作，计算结果，得出结论.要求一个小