高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计三

课题课题 二项式定理（一）二项式定理（一） 教材：教材：人教 A 版选修 2-3 第一章第三节教学内容解析教学内容解析在多项式的运算中，二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微积分学领域大门的一把金钥匙，只是在中学阶段还没有显示机会.本小节内容安排在计数原理之后，一方面是因为二项式定理的推导过程及证明要用到计数原理，另一方面二项式系数是一些特殊的组合数，因此本课的学习对排列组合部分知识的深化认识有好处.另外，二项式定理也为学习随机变量及其分布做准备.二项式定理还可以解决近似计算、整除、不等式证明等问题，有着综合性强、联系不同知识点的特点。 教学目标设置教学目标设置依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：（一）教学目标（一）教学目标1 1、知识与技能：、知识与技能： (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广. (2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理. 2.2.过程与方法：过程与方法： 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识 与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式 3.3. 情感、态度与价值观：情感、态度与价值观： 培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和 严谨（二）重、难点分析（二）重、难点分析重点：重点：用计数原理分析、的展开式，归纳得到二项式定理4)1 (x4)(xa 难点：难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开式各项的形成规律 学生学情分析学生学情分析本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了计数原理和排列组合知识，具备一定的分析和解 决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但要把二项式定理与排列组合问题联系起来，还是比较困难的， 因此需要创设一个环境，从语言感知，文字感知及图形感知等各个方面构建学生的思维认知。教学策略分析教学策略分析为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略：1教法分析 新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌握知识的活动过程才是途径，通过这个途径，来挖掘人的发展潜能才是目的，结果应让位于过程.因此，在教学中，必须贯彻好过程性原则.也就是说，在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者，在学习过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知识，发展能力.从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果.2学法分析 根据学生思维的特点，遵循“教必须以学为主立足点”的教学理念，让每一个学生自主参与整堂课的知识构建。在教学的各个环节中引导学生进行归纳、类比迁移，对照学习。学生在教师营造的“可探索”的环境里，积极参与，生动活泼地获取知识，掌握规律、主动发现、主动发展。 教学过程教学过程（一）近似估算，引出问题（一）近似估算，引出问题引题：如何近似计算高次方根，比如 n2【设计意图设计意图】通过用试探近似估算方法可行性，用 验证方法的可推广性，用揭示估算方法23242的源头问题，引出研究二项式展开项的必要性，也吻合数学史发展的历程。nx)1 ( （二）逐步探究，发现规律（二）逐步探究，发现规律1.1.探究一：探究一：展开式中展开式中项的系数是多少？项的系数是多少？4)1 (xx问题一：展开式中项是怎么形成的？4)1 (xx 问题二:系数是多少？【设计意图设计意图】从特殊的二项式中的指定的某项开始探究，大大降低学习的思维难度，引导学生从多项式 乘法法则出发，运用组合思想解决项的形成问题，突破本节课思维难点。2.2.探究二：探究二：展开式还有哪些项？展开式还有哪些项？ 4)1 (x 问题一：每一项是怎么产生的? 问题二; 共有多少项？【设计意图设计意图】利用其它项的特征分析，进一步明确组合思路，为后续推广作准备.3.3.探究三：探究三：展开式又是如何的？展开式又是如何的？4)(xa 【设计意图设计意图】从一个量到两个量都要考虑，这步探究的重点在于项的结构分析。通过几个问题的层层递进，引导学生进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导的展开式提供了一种方法，nba)( 使学生在后续的学习过程中有“法”可依4.4.探究四：推广到一般情况会是怎么样的？探究四：推广到一般情况会是怎么样的？【设计意图设计意图】通过仿照、展开式的探究方法，引发思考，由学生类比得出的展4)1 (x4)(xa nba)( 开式，从而上升形成一般结论。（三）形成定理，说理证明（三）形成定理，说理证明二项式定理：)()(*110NnbCbaCbaCaCbann nkknk nn nn nn证明：是 n 个相乘，每个在相乘时，有两种选择，选 a 或选 b，由分步计数原理nba)( )(ba)(ba可知展开式共有项（包括同类项） ，其中每一项都是的形式，对于每一项，n2kknba), 1 , 0(nkkknba它是由 k 个选了 b，nk 个选了 a 得到的，它出现的次数相当于从 n 个中取 k 个 b)(ba)(ba)(ba的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理k nC【设计意图设计意图】二项式定理的证明采用“说理”的方法，从多项式乘法法则角度对展开过程进行分析，用 计数原理概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示 的展开式 （四）熟悉定理，简单应用（四）熟悉定理，简单应用1.1.二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式） 项数：共有项.1n 次数：字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0；字母 b 按升幂排列，次数由 0 递增到 n 各项的次数都等于 n 二项式系数: 依次为，这里称为二项式系数. n nk nnnnCCCCC,210), 1 , 0(nkCk n 二项展开式的通项: 式中的叫做二项展开式的通项. 用表示.kknk nbaC 1kT即通项为展开式的第项: =1k1kTkknk nbaC2.2.例题应用：例题应用：例 1. 求的展开式.5)2(x变式训练：求的展开式.7)2( x【设计意图设计意图】熟练公式，考察对）的展开理解，并且进一步明确展开式中各项的规律.nba)( 例 2. 求展开式的第 4 项.7)21 (x变式 1：求展开式的第 6 项的二项式系数.7)21 (x变式 2：求展开式的项的系数.7)21 (x5x【设计意图设计意图】掌握通项，区分二项式系数与系数，培养学生的运算能力.（五）课堂小结，课后延伸（五）课堂小结，课后延伸1.1.小结：小结：知识层面：知识层面：公式：)()(*110NnbCbaCbaCaCbann nkknk nn nn nn通项：=，1kTkknk nbaCnk, 3 , 2 , 1 , 0方法层面：方法层面：1.从特殊到一般的探究方式. 2.从观察到归纳，从猜想到证明的思维模式.2.2.作业作业巩固型作业巩固型作业：课本 31 页习题 1、2、3、4 思维拓展型作业思维拓展型作业：试求(x+2y+z)6的展开式中含 xy2z3项的系数.3.3. 拓展知识拓展知识观看微视频观看微视频二项式定理的那些事二项式定理的那些事教案设计说明教案设计说明 二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础 本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程” ，在教学中，采用“问题探究”的教学 模式， 把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思 维方式，让学生体验定理的发现和创造历程 本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规 律在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的 特征，为后面二项展开式的推导作铺垫为突破难点，本课采用有特殊到一般的推导思路，先以为对象进行一个量的变化探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，再以4)1 (x为桥梁，重点分析各单项的构成，为推导的展开式提供了思路，使学生在后续的学习过4)(xa nba)( 程中有“法”可依 总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性重视学生的参与过程，问题引 导，师生互动重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习 惯 二项式定理课例点评 1 1创设历史情境，关注知识背景创设历史情境，关注知识背景二项式定理是多项式乘法的高级“产物” ，但对它的研究却源自“开高次方” 执教者借鉴数学发展史料，阐释近似估算方法，使研究二项式定理的必要性一目了然，让定理形n2成的过程自然而然，尤其在“重温、重走”中激发学生的学习内驱力2 2分散教学难点，揭示数学本质分散教学难点，揭示数学本质数学学习是教师引导下的“再创造” ,而“再创造” 的本质是学困之时、疑难之处为学生搭建好合适的“脚手架”本节课的教学难点是如何把二项式展开从多项式乘法中脱胎出来，自然地与计数原理、排列组合知识建立联系。执教者采用“先特殊后一般”、“先低次后高次”、“先局部后整体”的探究策略，以研究“中 x 项的系数为什么是 4”为4)1 (x出发点，以语言、图形、文字等 3 个不同感知为着眼点，启发引导建立“取数模型”，让学生感受“用组合来研究二项式展开”的体验。3.3. 突出主体地位，践行教学理念突出主体地位，践行教学理念把课堂还给学生，既是课改的一个主方向，也是新课标的一种原动力执教者通过放手探究一次项系数，拓宽学生的思维空间；通过合作探讨展开式中项的结构，4)1 (x4)(xa 增强学生的整合能力；通过归纳梳理展开式的特征，培养学生思维的严谨性整nba)( 堂课始终突出学生的主体地位，自觉实践“创新、开放、共享”的教学理念4.4. 挖掘情感价值，彰显数学文化挖掘情感价值，彰显数学文化教学中恰到好处地引用我国古代数学家的近似估算法，增强学生的民族自豪感，提振数学学习的精气神；匠心独运的微视频“二项式定理的那些事” ，让学生体会数学文化的多元性，扩大眼界拓宽视野，从而培养学生“善于倾听” 、 “乐于包容”的思想品格