【数学 】变化率问题（2）课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1变化率问题5.1导数的概念及其意义LOGO温故知新温故知新平均速度平均速度瞬时速度瞬时速度2.求物体在时刻求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤：的瞬时速度一般步骤：平均变化率平均变化率瞬时变化率瞬时变化率1.物体运动的物体运动的瞬时速度瞬时速度的本质是的本质是平均速度的极限平均速度的极限.无限逼近无限逼近取极限取极限无限逼近无限逼近取极限取极限3.数学思想、方法：数学思想、方法：特殊到一般、极限思想特殊到一般、极限思想 几何意义几何意义？LOGO探究新知探究新知 思考思考2：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？直线与这条曲线一定相切吗？追问追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？一个公共点吗？不一定不一定,平行对称轴的直线与抛物线只有平行对称轴的直线与抛物线只有1 1个交点个交点;平行渐平行渐近线的直线与双曲线只有近线的直线与双曲线只有1 1个交点个交点,探究表明探究表明：我们不能像研究：我们不能像研究直线和圆的位置关系那样，直线和圆的位置关系那样，通过通过交点的个数交点的个数来定义相切来定义相切了了.不一定不一定xyOf(x)sinx11 思考思考1：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线对于一般的曲线C,如何定义它的切线呢？如何定义它的切线呢？问题2 抛物线的切线的斜率 思考思考2：对于一般的曲线：对于一般的曲线C,如何定义它的切线呢？如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究为例进行研究.问题问题2 抛物线的切线的斜率抛物线的切线的斜率探究探究3.你认为应该如何定义抛物线你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点在点P0(1,1)处的切线？处的切线？追问追问3：如何求抛物线如何求抛物线 f(x)=x2 在在点点 P0(1,1)处的切线的斜率呢？你处的切线的斜率呢？你选用哪种直线方程形式？选用哪种直线方程形式？点斜式，斜率是确定直线的一个要素点斜式，斜率是确定直线的一个要素LOGO探究新知探究新知 下面我们以抛物线下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究为例进行研究.问题问题2 抛物线的切线的斜率抛物线的切线的斜率几何意义：几何意义：函数图象上过点函数图象上过点(1,h(1)和点和点(1+t,h(1+t)的直线的直线斜率斜率 类比上节课的研究思路，例如研究运动员在类比上节课的研究思路，例如研究运动员在 t=1s的瞬时的瞬时速度速度几何意义是什么？几何意义是什么？LOGO探究新知探究新知T观察：观察：与研究瞬时速度类似，为了研究抛物与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线线f(x)=x2在点在点P0(1,1)处的切线，我们通常在点处的切线，我们通常在点P0(1,1)的附近任取一点的附近任取一点P(x,x2),考察抛物线考察抛物线f(x)=x2的割线的割线P0P的变化情况的变化情况.如图如图,当点当点P(x,x2)沿着抛物线沿着抛物线f(x)=x2趋近趋近于点于点P0(1,1)时，割线时，割线P0P有什么变化趋势有什么变化趋势？当点当点P无无限趋近限趋近于点于点P0时，时，割线割线P0P无限无限趋近于一个确定的位置，这个趋近于一个确定的位置，这个确定位置确定位置的直线的直线P0T称为抛物线称为抛物线f(x)=x2在点在点P0(1,1)处的切线处的切线.P63探究2：如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0呢？抛物线抛物线f(x)=x2在点在点P0(1,1)处的切线处的切线P0T的斜率与割线的斜率与割线P0 P的斜率有内的斜率有内在联系在联系.记记x=x-1,则点则点P的坐标是的坐标是(1+x,(1+x)2).于是，割线于是，割线P0 P的斜率的斜率LOGO探究新知探究新知 问题问题：如何求抛物线如何求抛物线f(x)=x2在点在点P0(1,1)处的切线处的切线P0T的斜率的斜率k0呢呢?xy121234OPP0T割线割线P0P的斜率为的斜率为类比瞬时速度，探究切线类比瞬时速度，探究切线P0T的斜率与割线的斜率与割线P0P的斜率有内的斜率有内在联系在联系.记记xx1，P(1+x,(1+x)2)，割线位置割线位置切线位置切线位置无限逼近无限逼近割线斜率割线斜率切线斜率切线斜率无限逼近无限逼近取极限取极限注注：x可以是可以是正值，也可以正值，也可以是负值，但不是负值，但不为为0.让横坐标变化量让横坐标变化量 x趋近于趋近于0，观察割线斜率的变化情况，观察割线斜率的变化情况.类比探究类比探究 抛物线抛物线f(x)=x2在点在点P0(1,1)处的切线处的切线P0T的斜率与割线的斜率与割线P0 P的斜率有内的斜率有内在联系在联系.记记x=x-1,则点则点P的坐标是的坐标是(1+x,(1+x)2).LOGO探究新知探究新知x 0 xx 我们可以用我们可以用割线割线P0P的斜率的斜率k近似地表示切线近似地表示切线P0T的斜率的斜率k0，并且可以通过不断，并且可以通过不断缩缩短短横坐标横坐标间隔间隔|x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格：来提高近似表示的精确度，得到如下表格：LOGO当当点点P无限靠近无限靠近点点P0，即，即x无限趋近于无限趋近于0时，割线时，割线P0P无限趋近于无限趋近于切线切线P0T，因此因此切线切线P0T的斜率为的斜率为x无限趋近于无限趋近于0无限趋近于无限趋近于2 记为记为探究：切线的斜率：探究：切线的斜率：P63观察观察：利用计算工具计算更多割线利用计算工具计算更多割线P0P的斜率的值，当无的斜率的值，当无限趋近于限趋近于0时，割线时，割线P0P的斜率有什么变化趋势？的斜率有什么变化趋势？从几何图形上看，当横坐标间隔从几何图形上看，当横坐标间隔|x|无限变小时，点无限变小时，点P无限趋近于点无限趋近于点P0，于是割线于是割线P0 P无限趋近于点无限趋近于点P0处的切线处的切线P0 T.这时，割线这时，割线P0 P的斜率的斜率k无限趋近于点无限趋近于点P0处的切线处的切线P0 T的斜率的斜率k0.因此，切线因此，切线P0 T的斜率的斜率k0=2.LOGO拓展探究拓展探究xyO121234P0P切线斜率的本质是切线斜率的本质是瞬时变化瞬时变化率率探究新知探究新知你认为应该怎样定义抛物线你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点在点(x0,x02)处的切线处的切线?LOGO拓展探究拓展探究xyO121234P0 记点记点P的横坐标的横坐标 x=x0+x，则点，则点P的坐标即的坐标即为为(x0+x,(x0+x)2).于是割于是割线线P0P 的斜率的斜率故抛物线故抛物线 f(x)=x2在点在点 P0(x0,x02)处的切线处的切线P0T 的斜率为的斜率为2x0.一般地，如何求抛物线一般地，如何求抛物线 f(x)=x2在点在点 P0(x0,x02)处的切线处的切线P0T 的斜率呢？的斜率呢？P切线斜率的本质是切线斜率的本质是瞬时变化瞬时变化率率探究新知探究新知割线斜率与切线斜率的关系 LOGO探究新知探究新知 观察问题观察问题1中的函数中的函数 的图象，平均速度的图象，平均速度的几何意义是什么的几何意义是什么?瞬时速度瞬时速度v(1)呢呢?th1O(1,h(1)(1+t,h(1+t)探究教材探究教材P64？思考？思考解：解：所求切线的方程为所求切线的方程为 例例1.求曲线求曲线 f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线的斜率处的切线的斜率设曲线设曲线 f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线的斜率为处的切线的斜率为k,则则即即yx+1=2QPxy-111OMD DyD Dx变式练习变式练习LOGO课堂小结课堂小结 升华素养升华素养物体运动的平均速物体运动的平均速度度物体运动的瞬时速物体运动的瞬时速度度函数的平均变化率函数的平均变化率函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率几何意义几何意义割线的斜率割线的斜率几何意义几何意义切线的斜率切线的斜率无限逼近无限逼近无限逼近无限逼近1.须掌握须掌握2.2.求曲线上某点处的割线或切线的步骤求曲线上某点处的割线或切线的步骤：（1 1）求函数增量）求函数增量(2)(2)作比值作比值（3 3）求极限）求极限3.曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线:与该点的位置有关与该点的位置有关.要根据割线是否有极限位置来判断与求解要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如割线有极限如割线有极限位置位置,则在此点有切线则在此点有切线,且切线是唯一的且切线是唯一的;如割线不存在极限如割线不存在极限位置位置,则曲线在此点处无切线则曲线在此点处无切线.曲线的切线曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个交点可以有多个交点.须贯通须贯通须注意须注意课后作业课后作业1.教材教材P64练习练习T1，23.教材教材P70习题习题5.1T1，2，3，4