(数学)高中数学联赛江苏复赛试题+Word版含答案

全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题（每题分,满分64分,将答案填在答题纸上)1若数列满足,则的值为 .若函数对于任意都满足，则的最小值是 .在正三棱柱中,分别是侧棱上的点,，则截面与底面所成的二面角的大小是 4若，则 .设是实数，则的最大值是 . 设,则中能被整除但不能被整除的数的个数是 7. 在直角平面坐标系中，分别是双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线左、右两支分别交于点,若，则的值是 .8从正边形的顶点中任取若干个，顺次相连成多边形,其中正多边形的个数为 .二、解答题9.已知，且，求的最小值10.在平面直角坐标系中，椭圆的上顶点为,不通过点的直线与椭圆交于两点,且(1）直线与否过定点？若是,求出定点坐标；若不是,阐明理由(2)过两点分别作椭圆的切线,两条切线交于点，求面积的取值范畴1.设函数（1）求证：当时，;(2)设，若存在使得，求证:全国高中数学联赛江苏赛区复赛参照答案与评分原则加试1. 已知圆的内接五边形中与相交于点的延长线交圆于点，且求证： .设是非负实数，,若是两个不相邻的整数,求的值,3平面上个点,无三点共线，任意两点间连线段，将其中任意条线段染成红色.求证：三边都为红色的三角形至少有个.4.设为正整数，其中为互素的正整数,对素数,令集合,证明:对每一种素数,集合中至少有三个元素.试卷答案1 2. 3 45. 6.252 7. 8.332二、解答题9.解:由于,因此,因此当时,因此的最小值为10.解:(1） 由于,因此直线与轴平行时,或与重叠，不合题意设,则将代入，得因此同理因此，直线,即,化简得直线纵截距是常数,故直线过定点（）由(） ,同理,因此 不妨设，令，则，可化得,即 设,则切点弦的方程是，又在上,因此,从而因此到的距离因此的面积令，则,化得当时，递增,因此,即,当且仅当,即时，等号成立，故的面积的取值范畴是1解: （1) 用数学归纳法证明如下:(）当时，令,则恒成立，因此在区间为增函数,又由于,因此，即（)假设时,命题成立,即当时，则时，令,则，因此在区间为增函数,又由于，因此恒成立，即,因此时，命题成立由(）(）及归纳假设可知,当时,(2）由（1）可知，即,因此,即，下证：下面先用数学归纳法证明:当()当时,令,则,因此在区间单调增，又，故,即（)假设时，命题成立,即当时，则当时,令,，因此在区间上为增函数,又，故,即.由(）（）及归纳假设,可知当时,对成立,因此,从而即，证毕.复赛加试答案1.证明:连接由于五边形内接于圆，因此,因此,因此 同理， 由得由于,因此因此，即点是弧的中点,因此2.解:由于是不相邻的整数,因此由于是整数,因此设，即,则，则，于是，从而，故又由于 令,得，代入得,于是，因此,，并且,即,解之得,从而,且，故因此3. 证明:一方面证明一定存在红色三角形（三边均为红色的三角形为红色三角形,下同).设从顶点出发的红色线段最多，由引出的红色线段为，则若中存在两点，不妨设为使线段为红色线段，则为红色三角形，若互相之间没有红色线段相连,则从出发的红色线段最多有条,因此这个点红色线段最多有与题设矛盾，因此存在觉得顶点的红色三角形,下面用数学归纳法证明,（1）当时,平面上有四个点中两两连线共有条，其中有条为红色,只有一条非红色,设为则与均为红色三角形,命题成立,(2)假设时，命题成立,即至少存在个红色三角形,当时,有个点，且有条红色线段，一定存在一种红色三角形，设为考察从引出的红色线段分别记为条,不妨设若，则除去点余下的个点之间至少有，由归纳假设可知存在至少个红色三角形,再加上至少有个红色三角形，若,则，故从出发向其他个点引出红色线段至少有条，由于这线段至少有对线段有公共点（不涉及）故至少存在个红色三角形,再加上，则至少有个红色三角形，因此时命题也成立,由(1）(2)可知,当时，点之间的条红色线段至少可构成个红色三角形.证明：引理:设为素数，为非负整数，令，其中为互素的正整数，那么引理的证明：由于,令,由于素数,由小定理,以及,其中 ,有因此即由于，因此,引理证毕，由引理得,因此，从而，又，由于，因此从而由于，因此集合中元素至少有个.