2.1.1 直线的斜率2

2.1.1直线的斜率 教学设计教学目标 通过对所认识直线的直观感知,构建直线斜率的概念,并初步运用和加深理解直线的斜率公式. 以问题为背景,按照背景建立模型,解释应用与拓展的思考顺序,经历数学建模的过程. 理解并渗透数形结合的思想方法及数学文化,提升自主,合作,探究的学习能力教学重点直线斜率概念的理解和直线斜率公式的初步运用教学难点构建直线斜率的概念教材分析本节课是平面解析几何的入门课,应该让学生了解解析几何的本质 斜率刻画直线的基本量,要让学生理解定义,应该明确斜率的两种计算方法,要让学生体会斜率变化与直线倾斜程度的关系直线的斜率是刻画直线方向倾斜程度的代数表示,属于平面解析几何的基础概念无论知识本身,还是其建构过程与方法,对于直线乃至解几后续内容的学习都十分重要斜率是解析几何的核心概念 ,一是斜率本身就是刻画直线特征的重要的量,二是与直线其他内容联系密切 ,三 是斜率体现了坐标法的本质.在坐标系中用点的坐标刻画几何意义下的对象的一般方法,其建构过程是解几的基本套路,首次使用意义重大教学过程现实世界中到处有美妙的曲线。从飞逝的流星到雨后的彩虹，从古代石拱桥到现代立交桥，这些曲线都和方程息息相关。今天所探究的直线的斜率是高中解析几何的起始课，揭开了解析几何研究的序幕首先来看看解析几何的起源与解析法。从数学史的角度激发学生的求知欲。问题情境：在直角坐标系中，画出，观察这几条直线的异同？问题1：直线是最简单的几何图形，如何确定一条直线？生答：两点确定一直线。师问：能否一个点？刚才的三条直线都过点，但直线的走势不一样，如果一条直线上有一个确定的点，再加上一个方向就可以确定一条直线。点可以用坐标来表示，那直线的倾斜程度呢？问题2：现实生活中有涉及倾斜程度的例子吗？有可以帮助刻画倾斜程度的量吗？观察一组楼梯的图片，怎样区别这两个楼梯的不同？宽度相等时，什么决定坡度？高度相等时，什么决定坡度？高度宽度都不相等时，什么决定坡度？设计意图学生在初中已经学过直角三角形中用对边和邻边的长度之比表示台阶的倾斜程度,在学生的最近发展区开始新知的建构,有利于他们接受新的知识,更让学生知道高中数学.实际上是初中数学的继承和发展 通过对熟悉的几何图形的进一步认识,体会其中真正的精髓问题3：在研究坡度的基础上，如何解决直线的倾斜程度这一问题？怎样把坡度放入直角坐标系？坡度放入直角坐标系后，高度宽度如何表示？设计意图 通过学生主动尝试，发现问题将初中知识和认识进一步拓展，使概念逐步被完善，让学生在主动构建的过程中体会到问题的本质，学生自己的解决问题的手段是最自然， 最符合自己的认知规律的问题4：在直角坐标系中，如何刻画直线的倾斜程度？问题5：探究直线的斜率公式的合理性与有效性？对于直线还会有哪些情形？不同情况下如何刻画？直线倾斜程度的刻画与取点的位置和顺序有关吗？设计意图 至此斜率才从情境中抽象出来并得以完善，成为具有一般意义下的可以刻画所有直线方向的量 通过上面的问题串 帮助学生更好地理解直线的斜率和与直线斜率相关的量.给出直线斜率的定义（板书）已知两点，如果，那么直线的斜率为例 1 如图，直线都经过点( 3,2),又分别过点 ( -2,- 1) ,( 2, 6),( -3,2),试计算直线的斜率解：设分别表示直线的斜率则，。问题: 你能从例 1中看到当斜率分别是正数，负数，零时， 直线的位置有什么特点吗?该问题的设置主要是为了让大家能从直观的图形中发现规律，为后面学习倾斜角的变化与斜率变化之间的关系及直线方程的有关内容做好铺垫设计意图 通过计算直线的斜率，进一步体会斜率的值可以为正，可以为负，也可以为零例2：已知三点,判断这三点是否共线？变式：若三点共线，则 .法一 直线斜率公示法二 向量共线设计意图 让学生能利用直线斜率解决一些相关问题，进一步巩固所学新知体现解析几何问题的整个解题过程，也是作为课堂时间调节之用例3 经过点( 3,2) 画直线， 使直线的斜率分别为:( 1)； ( 2) ；( 3) 0; ( 4) 斜率不存在.设计意图 让学生能利用待定系数法解题能引申出多点共线问题的解决方法，尝试把代数问题还原成几何关系，进一步发现其中规律，为直线方程的推导埋下伏笔，运用斜率就是坐标增量的比，从不同角度来看待解决问题，不断优化思维品质，提升能力课堂小结：师生合作 主要围绕以下几方面进行总结 概念剖析 直线的斜率 问题分析 （） 已知直线上两点求斜率 （ ）已知一点和斜率画直线 思想方法 数形结合，方程思想课堂练习：1 分别求经过下列两点的直线的斜率： ； ； ； ； ； 2.已知直线上一点向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，仍在该直线上，求直线的斜率.3.分别判断下列三点是否在同一直线上：； ； .4.如果三点共线，求实数的值.课后总结本节课，教师根据学生已有的生活经验和数学知识，以问题导引的形式展开教学，引导学生自主建构、完善概念学生对刻画直线方向的选择是多元化: 坐标、比值等; 教师在遵循学生自主选择基础上，不断追问，将粗略的感知细化为严格的定义学生完成自主概念建构后， 教师组织学生交流，相互评价、补充，完善直线的斜率的概念，引导学生明确两者的关系， 强调不论一开始时选择几何量还是代数量刻画直线方向，最终需建立概念之间的联系，突出用代数方法解决几何问题的核心。