《数学方法论》数学中的化归方法

待解决问题A（化归：对象）问题A的解答 . 还原问题B的解答第五章数学中的化归方法就数学思想方法的研究而言，一个重要问题在于：与一般的科学家（例如物理学家）相比，数学家在思想方法上是否有其特殊的地方。对于上述问题、匈牙利著名数学家罗莎彼得（ Rosza Peter）在其名著无穷的玩艺 中曾通过一个有趣的事例进行分析。她所给出的事例是这样的：有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说： “在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶 上。”提问者肯定了这一回答。但是，他又追问到： “如果其它的条件都没有变化，只是水壶 中已经有了足够的水，那么你又应当怎样去做？” 这时被提问题者往往会很有信心地回答道：“点燃煤气，再把壶放到煤气灶上”。但是，这一回答却未能使提问者感到满意，因为，在后者看来，更为恰当的回答是：“只有物理学家才会这样的；而数学家则会倒去壶中的水，并声称他已经把后一问题化归成先前的已经得到解决的问题了。”罗莎指出，这种思维方法对数学家来说是十分典型的。这就是说：“他们往往不是对问题实行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化成能够得到解决的问题。”这也就是说，数学家思维的重要特点之一，就是他们特别善于使用化归的方法去解决问题。本章的内容主要是论述化归方法的基本思想与原则以及一些具体的化归方法。§ 5.1化归方法的基本思想与原则人们在认识一个新事物或解决一个新问题时，往往会设法将对新事物或新问题的分析研究纳入到已有的认识结构或模式中来。例如，我们在解决数学问题的过程中，常常是将待解决的问题通过转化，归结为较熟悉的问题来解决，因为这样就可以充分调动和运用我们已 有的知识、经验和方法于问题的解决。这种问题之间的转化概括起来就是化归方法。“化归”是转化和归结的简称。化归方法是数学中解决问题的一般方法，其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A,通过某种转化手段。归结为另一个问题B,而问题B是相对较易解决或已有固定解决模式的问题，且通过对问题B的解决而得到原问题A的解答。用框图可直观表示为：转化较易解决的问题B（化归途径上（化归目标）其中，问题B常被称为化归目标，转化的手段被称为化归途径或化归策略。辩证法告诉我们：任何事物都不是孤立、静止和一成不变的，而是在不断地 发展变化着。因此，作为一个数学系统或数学结构，其组成要素之间相互依存和 相互联系的形式是可变的，正是这种可变的性质，产生了数学中的化归方法。化 归方法有着坚实的客观基础，是人们对事物间的“普遍联系”和矛盾在一定条件 下的“相互转化”的能动反映。它着眼于揭示联系，实现转化通过“矛盾转化” 解决问题。在数学史上， 曾有不少数学家从各种不同的角度对化归方法进行过论述。 例如，笛卡儿在指导思维的法则一书中就曾提出过如下的“万能方法” ：第一，将任何实际问题化归为数学问题；第二，将任何种类的数学问题化归为代数问题；第三，将任何代数问题化归为方程式的求解。由于求解方程的问题被认为是已经解决的（或者说，是较为容易解决的） ，因此， 在笛卡儿看来， 我们就可以利用这样的方法去解决各种类型的问题。 笛卡儿所给出的这一 “问题解决” 的模式可以看作是化归方法的一种具体运用。 这一基本思想曾帮助笛卡儿发明了解析几何； 而且现今人们把几何学命题的证明过程转化为代数方程组的零点集确定问题， 最后实现机器证明定理的目标， 也是这一思想的现代发展和深化。 当然， 任何方法都必然具有一定的局限性， 因而所谓的“万能方法”是根本不存在的。数学中的化归方法在数学的理论研究及数学问题的解决过程中都占有重要的地位。例如，两个数学系统之间的同构关系（视为一种化归） ，不同的数学对象化归在同一种数学系统中进行研究， 从而导致新的数学理论的产生，因而推动了数学的发展。另一方面，化归又为解决数学问题提供了一个有力的武器。例如，在微积分中，不定积分的计算方法中就有所谓分部积分法。设函数 u x , v x 具有连续的导数，则u x v x dx u x v x u x v x dx或写作u x dv x u x v x v x du x利用公式或有时可以使难求得不定积分u x v x dx 转化为易求的不定积分u x v x dx ，从而得到所要求的结果。又如，在定积分理论中，有著名的牛顿莱布尼茨公式：若函数 F x 是连续函数 f x 在区间 a,b 上的一个原函数，则 bf x dx F b F aa牛顿莱布尼茨公式不仅在理论上是很重要的， 而且在实际计算中也有重要的意义， 即将求定积分的问题化归为求被积函数的原函数或不定积分的问题。“问题是数学的心脏” ，数学问题的解决是数学教学中的一个重要组成部分，而几乎所有的数学问题的解决都离开不化归， 只是体现的化归形式不同而已。 计算题是利用规定的计算法则进行化归； 证明题是利用定理、 公理或已解决了的命题进行化归； 应用问题是利用数学模型进行化归。 数学问题的化归方法也是多样的。 把高次的化为低次的； 多元的化为单元的；高维的化为低维的； 把指数运算化为乘法运算；把乘法运算化为加法运算；把几何问题化为代数问题； 把微分方程问题化为代数方程问题；化无理为有理；化连续为离散；化离散为连续；化一般为特殊；化特殊为一般；。因此说，离开化归方法，数学问题的解决将寸步难行。总之，数学中的化归方法的目的就是化难为易，化繁为简，化生为熟，化暗为明。为了实现有效的化归，一般应遵循以下诸原则：1、化归目标简单化原则化归目标简单化原则是指化归应朝目标简单的方向进行，即复杂的待解决问题应向简单的较易解决的问题化归。这里的简单不仅是指问题结构形式表示上的 简单，而且还指问题处理方式方法的简单。22222例 1,已知 af(2x 1) bf(1 2x ) 4x ,a b0求 f(x)。分析：根据题设等式结构的特点，遵循简单化原则，予以简化。只须令 2x2 1 y ,条件等式就可化为af(y) bf( y) 2y 2,在此条件下求f ,关系就明朗许多。由新条 件等式中f(y)与f( y)的特殊关系，我们可想到在等式中用y代y，仍会得到一个关于f(y)，f( y)的等式，这样，问题就化归为求解这两个等式组成的关于f(y)，f( y)的方程组af(y) bf( y) 2y 2 af( y) bf(y) 2y 2 这是一个简单问题。例2,一个凸n边形，无三条对角线共点，它的边和对角线一共可以组成多少个三角形？分析：我们根据目标一一由凸 n边形的边和对角线组成的三角形， 是否含有凸n边形的 顶点，含有多少个顶点，将所求的三角形所成的集合S分为4个集合 S0,S1,S2,S3,Si ss S,且s的三顶点中恰有i个顶点为凸n边形的顶点 i n12q0,1,2,3S2中完全不同的4显见，S3与凸n边形的顶点集的三元子集一一对应，故S3 Cn; 8的每4个三角形对应于凸n边形顶点集的一个四元子集，反之，不同的四元子集对应于个三角形，于是同理：§S2I 4C：;5C； S0 C6；4cl4 C33Sil C6 5C5 i 02、和谐统一性原则化归的和谐统一性原则是指化归应朝着使待解决的问题在表现形式上趋于和谐，在量、 形、关系方面趋于统一的方面进行，使问题的条件与结论表现得更匀称和恰当。111x y z1例3.已知xyz，、求证：x,丫2三个数中至少有一个为1。分析：由于条件给出的是 x, y,z的运算关系。由和谐统一性原则，欲证结构，我们只需 证：(1 x)(1 y)(1 z) 0(将结果也表明为一种运算关系)如何证明？不妨把它化为 1 x y z xy yz zx xyz 0联想到条件x y z 1 ,可知要证，只需证： xy yz zx xyz 0111一 一1而与条件xyz等价的，可知原结论是成立的。例4.在 ABC中证明：222cos A cos B cos C 2cosAcosBcosC 1分析：三角形的射影定理：a bcosC ccosBb a cosC ccosAc acosB bcosA反映了三角形中边角之间所固有的和谐统一，正是这种和谐统一性启发我们将原问题化归为齐次线性方程组的解的讨论问题：我们将射影定理写成a b cosC ccosB 0a cosC b ccosA 0a cosB bcos A c 0 由此可知，a,b,c (非零的)是齐次线性方程组x y cosC zcosB 0 xcosC y zcos A 0 xcosB ycos A z 0 的一组非零解。根据齐次线性方程有非零解的充要条件是其系数行列式等于零。即1det cosC cosB22cos A cos B3、具体化原则cosCcos B1 cos AcosA 1 八 =02cos C 2cosAcosBcosC化归的的具体化原则是指化归的方向一般应由抽象到具体，即分析问题和解决问题时， 应着力将问题向较具体的问题转化，以使其中的数量关系更易把握，如尽可能将抽象的式用具体的形来表示；将抽象的语言描述用具体的式或形表示，以使问题中的各种概念以及概念之间的相互关系具体明确。4242例5求函数f"3x 6x 13 Px x 1的最大值。分析：函数结构复杂，无法用常规方法解。设法将其具体化。由根式我们会联想到距离, 问题的关键是两个根式内的被开方式能否化成平方和的形式。通过拆凑，发现可以，即f(x) . (x2 2)2 (x 3)2对其作适当的语义解释，问题就转化为：求点 离之差的最大值。进一步将其直观具体化(如图.(x21)2x22P(x,x)到点 A (3, 2)与点 B (0, 1)距5.1)。由A、B的位置知直线 AB必交抛物2物y x于第二象限的一点 C,由三角形两边之差小于第三边知， P 位于C时，f(x)才能取到最大值。且最大值就是AB ,故 f(x)max |AB V10o上述分析过程的关键是将问题通过几何直观，转化为具体的形，“形”使我们把握住了 f (x)的变化情况。4、标准形式化原则化归的标准形式化原则是说将待解决问题在形式上向该类问题的标准形式化归，标准形式是指已经建立起来的数学模式，因为数学从某种意义上来说是关于模式的科学，如一元二2方程求根公式及根与系数的关系都是关于标准形式的一元二次方程ax bx c 0而言的，只有化归成标准的一元二次方程形式后，才可用有关结果。 二次曲线的有关理论都是针对标准形式方程讨论的，因此也只有化成标准方程形式，才可能运用这些理论。所以， 问题向标准形式化归也是数学解题思维的一个基本原则。5、低层次化原则化归的低层次化原则是说，解决数学问题时，应尽量将高维空间的待解决问题化归成低维空间的问题，高次数的问题化归成低次数的问题，多元问题化归为少元问题解决，这是因为低层次问题比高层次问题更直观、具体、简单。33例6求方程 x y xy 61的自然数解x, y。3322、分析：由方程结构知，x>y,又由x y (x y)x