平面内到两定点的距离关系恒定的动点轨迹问题
平面内到两定点的距离关系恒定的动点轨迹问题四川省高中数学骨干教师省级培训班四班学员四川省眉山车城中学蒋国军人教版平面解析几何课本中研究的平面内到两定点的距离关系恒定的动点轨迹有三类：1、 到两定点F1、F2的距离之和等于常数2a (2a>0)(1) 、当 2aF1 F2 时，动点轨迹是椭圆；（2）、当 2aF1 F2时，动点轨迹是线段F1F2 ；（3）、当 2aF1F2 时，动点轨迹不存在。2、 到两定点F1、F2的距离之差等于常数2a (2a>0)（1）、当 2aF1F2时，动点轨迹是双曲线；（2）、当 2aF1 F2时，动点轨迹是以 F1、 F2 为端点的两条射线；（3）、当 2aF1 F2时，动点轨迹不存在。3、 到两定点F1、F2的距离之比（商）等于常数m (m>0)(1) 、当 m=1时，动点轨迹是线段 F1 F2 的垂直平分线；（ 2）、当 m 1 时，动点轨迹是圆。 （这也可称之为圆的第二定义）那么平面内到两定点F1、 F2 的距离之积等于常数m (m>0) 的动点轨迹是什么呢？以 F1F2所在直线为x 轴，以线段 F1 F2 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系；设F1 F2 2c, c 0 ，则 F1c,0 , F2 c,0，又设动点 M的坐标为 x, yMF1MF2,2y2x c22mmx cy两边平方，化简得：x 4y42x 2 y 22c2 x22c 2 y 2c 4m20（1）由对称性知识可得，方程所表示的曲线关于x 轴、 y 轴成轴对称，且关于原点成中心对称；（ 2）令 x=0, 得：y42 2y2c4m20,cy2c 2m y 2c2m0则：y 2mc 2或y2c 2m （ <0, 舍去）当 mc 2 时，方程所表示的曲线与y 轴交于两点 (0,m c2 ) ；当 mc2 时，方程所表示的曲线与y 轴交于一点（ 0， 0）；当 mc2 时，方程所表示的曲线与y 轴没有交点。（3）令 y=0，得： x 42c 2 x 2c 4m 20x 2c 2m x 2c 2m0则：x 2c2m或 x 2c 2m当 mc 2 时，方程所表示的曲线与x 轴交于两点(c 2m,0) ；当 mc2 时，方程所表示的曲线与x 轴交于三点（ 0，0）， (c2m,0) ；当 mc2 时，方程所表示的曲线与x 轴交于四点(c2m,0)， (c 2m,0) 。由以上（ 1）、（ 2）、（ 3）综合分析可得：Y当 mc 2 时，方程所表示的图形为XY当 mc 2 时，方程所表示的图形为XY当 mc 2 时，方程所表示的图形为X利用几何画板软件作为平台容易作出上述曲线，曲线的形状别致、有趣，不妨可以命名为“幻形线” ， F1、 F2 也可称为“幻形线”的焦点。这样，平面内到两定点的距离之和、之差、之比（商）、之积为正常数的动点轨迹问题就得到系统、圆满的解决，特别是最后一个轨迹，虽然是一个四次曲线，但仍可运用研究圆锥曲线的方法及知识加以妥善解决， 并可用课件加以直观验证， 在课外引导学生去探究， 不仅可以解决学生在学完“平面内到两定点的距离之和、之差、之比（商）的轨迹”之后所产生的“到两定点的距离之积的轨迹是什么”的疑问，还能很好地培养学生的探索和创新意识。
