2018高考数学备考艺体生百日突围专题09等差数列与等比数列的基本运算附解析

2018高考数学备考艺体生百日突围专题09等差数列与等比数列的基本运算附解析专题九 等差数列与等比数列的基本运算等差数列的概念与运算【背一背基础知识】1等差数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是.3等差中项如果，那么A叫做a与b的等差中项4等差数列的前n项和(1)公式的推导：等差数列的前n项和公式是用倒序相加法求得的(2)等差数列an的前n项和公式：【讲一讲基本技能】1.必备技能：(1)等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，anan1d(常数)(n2)，第二种是利用等差中项，即2anan1an1(n2)(2)解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断通项法：若数列an的通项公式为n的一次函数，即anAnB(A、B是常数)，则an是等差数列前n项和法：若数列an的前n项和Sn是SnAn2Bn的形式(A，B是常数)，则an为等差数列(3)等差数列可以由首项a1和公差d确定，所有关于等差数列的计算和证明，都可围绕a1和d进行(4)对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出a1，d.如果再给出第三个条件就可以完成an，a1，d，n，Sn的“知三求二”问题这体现了用方程的思想解决问题2.典型例题例1【2016高考新课标】已知等差数列前9项的和为27，则（A）100 （B）99 （C）98 （D）97【答案】C【解析】由已知，所以故选C.例2【2017浙江，6】已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【练一练趁热打铁】1.【2018届福建省宁德市高三上学期期末】已知等差数列的前和为，若， ，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】等差数列的前和为， ， ， ，解得， ，故选A.2.【2018届安徽省池州市高三上学期期末】在等差数列中， ，则的前项和（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】等差数列中， ，化为基本量得到 等差数列的性质【背一背基础知识】1.等差数列an的常用性质(1)通项推广：anam(nm)d(d为数列an的公差)(2)若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.特别地：a1ana2an1a3an2.(3)项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即若mn2p，则aman2ap.(4)Sk，S2kSk，S3kS2k，构成等差数列，公差为k2d.(5)Snnnn.2等差数列的前n项和公式与函数的关系(1)等差数列前n项和公式Snna1d可化为：Snn2(a1)n.数列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Snf(n)是n的常数项为零的二次函数，即.(2)在等差数列an中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值【讲一讲基本技能】1.必备技能：(1)等差数列an的通项公式ana1(n1)ddna1d，d0时，an是n的一次函数当d>0时，an为递增数列，当d<0时，an为递减数列，当d0时，an为常数列(2)等差数列an的前n项和公式Snna1dn2(a1)n.d0时，Sn是n的二次函数，且常数项为零据此特点可判断an是否为等差数列同时，可用配方法或图象法求Sn的最值问题d0时，Sn为n的一次函数(3)等差数列的单调性等差数列公差为d，若d>0，则数列递增若d<0，则数列递减若d0，则数列为常数列(4)等差数列的简单性质已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和若mnpq，则amanapaq，特别：若mn2p，则aman2ap.am，amk，am2k，am3k，仍是等差数列，公差为kd.数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列，公差为m2d.S2n1(2n1)an.若n为偶数，则S偶S奇d.若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)数列c·an，can，panqbn也是等差数列，其中c、p、q均为常数，bn是等差数列公差不为0的等差数列，求其前n项和的最值，一是把Sn转化成n的二次函数求最值；二是由an0或an0找到使等差数列的前n项和取得最小值或最大值的项数n，代入前n项和公式求最值2.典型例题例1已知为等差数列，若，则（ ）A B C D【答案】A【解析】由，得，所以，故选A例2在等差数列中，若，则= .【答案】【练一练趁热打铁】1已知等差数列满足，则其前10项之和为（ ）A. 140 B. 280 C. 168 D. 56【答案】A【解析】数列为等差数列，前10项之和为选A2.等差数列中，若，则=_.【答案】.等比数列的概念与运算【背一背基础知识】1等比数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项.3等比中项若，那么G叫做a与b的等比中项4等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.【讲一讲基本技能】1.必备技能：(1)对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用(2)在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公式q是否等于1的判断和讨论(3)等比数列的判定方法：定义法：若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2)，则an是等比数列中项公式法：若数列an中an0且aan·an2(nN*)，则数列an是等比数列通项公式法：若数列通项公式可写成anc·qn1(c，q均为不为0的常数，nN*)，则an是等比数列前n项和公式法：若数列an的前n项和Snk·qnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列需要说明的是：对于第一、二种方法适用于任何题型，强调推理过程，而第三、四种方法适合于选择、填空题，强调结论的应用，若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可2.典型例题例1【2017江苏，9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= .【答案】32【解析】当时，显然不符合题意；当时，解得，则.例2【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 an的最大值为 【答案】【练一练趁热打铁】1. 已知是等比数列, ,则 (  )A. 16（1-4-n） B. 16(1-2-n） C. （1-4-n） D. （1-2-n）【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则，解得，数列是首项为8，公比为的等比数列选C2.在明朝程大位算术统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的倍，共有盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从下往上数第四层有（ ）盏灯.A. B. C. D. 【答案】D等比数列的性质【背一背基础知识】1. 等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：，(n，mN*)(2)若an为等比数列，且klmn，(k，l，m，nN*)，则.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，an·bn，仍是等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.即项数成等差数列则对应项成等比2等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为.【讲一讲基本技能】1.必备技能：(1)等比数列的单调性或an为递增数列；或an为递减数列；q1an为非零常数列；q<0an为摆动数列(2)等比数列其他性质若数列an是等比数列，则can(c0)，|an|，a，也是等比数列，若bn是等比数列，则an·bn也是等比数列数列am，amk，am2k，am3k，仍成等比数列若等比数列an的项数为2n，则q，其中S偶，S奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和qnm(m，nN*)2.典型例题例1.在正项等比数列中，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A例2. 已知数列为等比数列,若则的值为（）A10B20C60D100【答案】D【解析】是等比数列，题中又出现了数列中的两项的积，故可应用其性质，这样就有【练一练趁热打铁】1.在各项都为正数的等比数列中，前三项的和为，则 （ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则，由于，化简得，解得，故选C.2. 已知数列是递增的等比数列，则数列的前项和等于 .【答案】（一）选择题（12*5=60分）1若等差数列中， 则（ ）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】 ，选B.2等差数列 中， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，所以。故选A。3已知是等差数列的第项，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由等差数列5,8,11,17， 知，首项 公差，所以通项公式为，令，选D.4已知数列是等比数列， ， ，则公比等于（ ）A. -2 B. C. 2