傅里叶级数的指数形式与傅里叶变换

傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换专题摘要：根据欧拉(Euler)公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅 里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种 信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物 理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号 的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换 域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z变换。 而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数 的指数形式。不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里 叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们 承认满足狄里克莱(Dirichlet)条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶 展式的唯一性问题。傅里叶级数的指数形式一个以T为周期的函数f (t)，在-2, y上满足狄里克莱条件：1。f (t)连续或只有 有限个第一类间断点；2o只有有限个极值点。那么f (t)在-2,2上就可以展成傅里叶级 数。在连续点处f (t) = -o + 兰(a cos n t + b sin n t)，(1)2nnn =12k其中=，2 ta =2 f (t)cosnw tdt,(n = 0,1,2,A )，(2)n T T-22 tb =2 f (t)sin nw tdt, (n = 1,2,3,A )，(3)n T T.2根据欧拉(Euler)公式：e = cos0 + j sin0 ,(1)式化为f(t) =o + Z2n=1e jnw t + e jnw t an 2e jnw te jnw t+ b - n 2 j= + Z2n=1a jbnn2a + jbe jnwt + nn e-jnWt2若令a 一 jb1 t1 tc =f n =2 f (t )cos nw tdt 一 j 2 f (t) sin nw tdtn 2T 一TT - T221 t=2 f (t)cosnwt - jsinnwtdtT - t21 Ft=J 2 f (t)e -jnotdt,n = 1,2,3, AT - t-21 fTc = J 2 f (t)ejnwtdt, n = 1,2,3, A -n T 一T2综合c , c , c ，可合并成一个式子0 n -n1 (*T5)6)c = J 2 f (t)e -jn®t dt,n = 0, +1, + 2, A ,n T T-2若令w = nw,n = 0, 土 1, 土 2,A，则(1)式可写为nf (t) = c + S (c ejw”t + c e -叫)=艺 c e£t ,0n- nnn=1n=-g这就是傅里叶(Fourier )级数的指数形式。或写成f (t) = T丄艺 J: f (t )e一jw/ dT e叫。T2 -n=-g7)傅里叶积分定理因为任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T T +g时转化而来的，即lim f (t) = f (t)。于是有T T+g T艺 J 2 f (T )e -jwnT dT ejwt。 T T2可以证明(详细过程可参阅文46)，当T T+g时，有丄 J+g J+gf (t )e -jwT dT ejwtdw，f (t) = lim :T T+g Tn=-gf=2兀公式(8)称为傅里叶积分公式。从而得到一个非周期函数可用傅里叶积分公式表示的傅里 叶积分定理。傅里叶变换根据傅里叶积分定理，设8)-g-g9)F(w ) = J+gf (t)e-jwdt，-g1 f f (t) = 一f+MF()ej®d® ,(10)2兀一8从上两式可以看出，f (t)和F()通过指定的积分运算可以相互表达。(9)式叫做f (t)的 傅里叶变换，记为F仙)=F f (t).F(®)叫做f (t)的象函数，(10)式叫做F()的傅里叶逆变换，记为f (t) = F -F().f (t)叫做F(如的原象函数。