专题5.1：解集为整数点的不等式组问题的研究与拓展

专题5.1：解集为整数/点的不等式（组）问题的研究与拓展【课本溯源】不等式组表示的平面区域内的整点个数为_. 12【问题提出】问题1：如何研究上述整点问题？变式：在不等式组所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为 问题2：三边，的长都是整数，且，如果，则这样的三角形共有_个. 问题3：三边长均为整数，且最大边长为的的个数为_. 36问题4：钝角三角形的三边长均为正整数，且组成公差为3的等差数列，这样的三角形有_个. 5 【拓展探究】探究1：若集合， ，且，则满足条件的整数对的个数为_.变式：已知集合A,且只有5个整数解，则的取值范围是_ . 探究2：若，且不等式的解集中有且只有三个整数，则所有满足条件的值之和为_. 21探究3：已知集合A,且只有5个整数解，则的取值范围是_ . 探究4：关于的不等式组的解集为.（1）若集合，求实数的取值范围；（2）若集合中有且只有两个整数，求实数的取值范围.探究5：关于的不等式恰有3个整数解，求实数的取值范围. 变式：设全集，函数的定义域为，集合，恰好有两个元素，求实数的取值范围. 探究6：已知是实数，函数（1）若，且函数在内存在最大值，试在平面直角坐标系内，求出动点运动区域的面积；4（2）若，且关于的不等式的解集中的整数恰有2个，试求的取值范围. （数形结合）变式1：已知函数有最小值，则实常数的取值范围是 变式2：函数在上有最大值，则实数的取值范围是_探究7：（2009，天津）关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是_.解法1.1 令，易知当a0时，不合题意分别作出函数图象，见图1.1；由题意，要使成立，则函数的图象应在函数的图象上方又，由图象得到，原不等式解集中的3个整数只能为1，2，3； 则有不等式组成立，解得解法1.2 当x=0时，对任意实数a，不等式不成立，则有令，当时，单调递增，且；当时，单调递减，且；当时，单调递增，且；其图象如图1.2所示，那么要使原不等式的解集中含有3个整数，则由函数图象得到，即 解法1.3 易知当a0时，原不等式的解集非空对不等式两边同时开平方，得到由得令，. 由于函数在每个单调区间内都是增函数，则的图象如图1.3所示因此，当原不等式的解集中恰有3个整数时，应满足条件，解得变式1：（2013年连云港市高三数学期末）关于x的不等式x2-ax+2a<0的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是 . 参数分离：当时，此时，令，则通过画图可得：；当时，同理可得并且此方法可用于研究3个、4个或者多个整数解均可研究解法2.1 原不等式可转化为令，在同一坐标系内分别作出两个函数的图象如图2.1，当时，设不等式解集为A，且A=当时，首先，易知当时，函数的图象始终在函数图象下方因此，要使函数图象在上方时对应的横坐标的取值集合A中有2个整数，则；同时，当时，直线和抛物线相切于点由图象知，当时，为解集A中的一个整数那么另一个整数则为3或5，即有： 或，由此可解得：；当时，由图象知，那么解集A另一个整数为1或中的一个同理有：或，解得综上，满足条件的实数a的取值范围是或解法2.2 原不等式可转化为首先，当时，不等式解集为A为，故A中不可能含有整数2；当时，；当时，再令，则当时，；当时，；令，由函数的图象图2.2可知，因此，若A中整数为正整数时，则和3为满足条件的整数，那么此时a的取值范围为；若A中整数为负整数时，则和-3为满足条件的整数，那么此时a的取值范围为；从而得到满足条件的参数a的取值范围为或变式2：若关于x的不等式的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是 解法3.1 原不等式可转化为令，如图3.1，下对参数a进行分类讨论：当时，A中没有整数；则当时，A中也没有整数；当时，首先发现，那么另外一个整数必为1，则有成立，解得；当时，A中没有整数；则当时，A中也没有整数；当时，那么另外一个整数必为1，则有成立，解得. 综上，可得所求参数a的取值范围为或解法3.2 将原不等式转化为令，首先，当时，；情形1，如图3.2.1，当时，包含如下两种情形：情形1.1，当时，即，由图知A中不可能有2个整数； 情形1.2，当时，即. 若要使A中恰有2个整数，则这两个整数必为0和1因此有且，即，解得情形2，如图3.2.2，当时，包含如下两种情形：情形2.1，当时，即，由图知A中不可能有2个整数； 情形2.2，当时，即若要使A中恰有2个整数，则这两个整数必为0和:1因此有且，即，解得则有或解法3.3 原不等式可转化为首先当时，即或；当时，；当时，；令，又当时，或，不合题意；下只要考虑时的两种情形：情形1，当时，则有，设另一个整数为；情形1.1，如图3.3.1，当时，有，即，解得；情形1.2，如图3.3.2，当时，有，即，解得；情形2，当时，如图3.3.3，得，则中两个整数要么同为正数，要么同为负数情形2.1，若两个整数大于0时，则有，且，计算得；情形2.2，若两个整数小于0时，则有，且，计算得；即所求实数a的取值范围是或探究8：(南京市2014届高三年级12月阶段调研卷-14-inequality) 若关于的不等式的解集中仅有4个整数解，则实数的取值范围为 解法1：令，则由解集中有且只有4个整数可知；又，那么，对， 二次函数 过定点；由图1可知， 必为解集中的一个整数；并且解集中的最大整数小于；设解集为A，1°若适合题意，则，有. 那么，即，解得：，则.2°由上分析可知，即，解得.综上，满足题意的实数的取值范围为.解法2：；令，；则由转化为函数的图像在函数的图像下方；1°当时，解集中含有无数个整数解，故舍去；2°当时，在同一个坐标系中作出函数图像，由图2可知，满足题意； 若，则有，可解得； 因此，解得.综上，满足题意的实数的取值范围为.解法3：，又分析可知，故；令，；在坐标系内画出函数图像：由图像可知，下同解法1°,2°先排除，再说明，此处略. 【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？