浙江省台金七校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考 数学 Word版含解析

【新结构】2023-2024学年浙江省台金高二年级第二学期七校联盟考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A53C63的值是(    )A. 20B. 40C. 110D. 102.4名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、兵乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是(    )A. 6B. 24C. 64D. 813.若双曲线x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为(    )A. y=± 33xB. y=± 5xC. y=± 3xD. y=± 55x4.8个人分成3人、3人、2人三组，共有种不同的分组方法(    )A. 1120B. 840C. 560D. 2805.函数y=cos( x)的导函数为(    )A. y=12 xsin( x)B. y=sin( x)C. y=12 xsin( x)D. y=2 xsin( x)6.设(x23x2)5=a0+a1x+a10x10，则a2=(    )A. 800B. 640C. 800D. 6407.将三颗骰子各掷一次，记事件A=“三个点数互不相同”，事件B=“至少出现一个5点”，则P(A|B)=(    )A. 20216B. 2091C. 6091D. 238.已知7m=11，a=9m13，b=5m9，则(    )A. a>b>0B. a>0>bC. b>a>0D. b>0>a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.随机变量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(X=1)可以为(    )A. 13B. 12C. 35D. 3410.如图，直线y=kx+b与曲线y=f(x)相切于两点，则(x)=f(x)kx有(    )A. 2个极大值点B. 3个极大值点C. 2个极小值点D. 3个极小值点11.一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有(    )A. 从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望E()=158B. 每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差D()=4564C. 从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望E(X)=83D. 每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望E(Y)=13三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量N(1,2)，且P(1<1.5)=0.34，则P(>1.5)=_.13.若直线xy=1与直线(m+3)x+my8=0平行，则m=_，它们之间的距离为_.14.甲乙两人轮流投掷一枚质地均匀的骰子，规定谁先掷出6点为胜者；前一场的胜者，则下一场后掷(分出胜者算一场).若第一场时是甲先掷，则第2场甲胜的概率为_.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知 xax2nnN,a0的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为1.()求实数a和n的值；()求展开式中系数最小的项16.(本小题15分)如图，边长为2的等边PDC所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2 2，M为BC的中点()求证：PDBC；()若N为直线PA上一点，且MNPA，求直线DN与平面PAM所成角的正弦值17.(本小题15分)设等差数列an的前n项和为Sn(nN)，S9=45，a2+a3=5.()求数列an的通项公式；()已知数列bn满足b1=1，bn+1bn=2024anan+1n2024,nN，记bn的前n项和为Tn，求T2024.18.(本小题17分)某火锅店为了鼓励顾客们办理本店的会员卡，在持有会员卡的顾客点单后，推出“玩游戏，送果盘”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数超过4点，获得1分，否则获得2分进行若干轮游戏，若累计得分为9分，则游戏结束，可得到“果盘”一份；若累计得分为10分，则游戏结束，可得“牛肉卷”一份，最多进行9轮游戏()当进行完3轮游戏时，总分为X，求X的分布列和数学期望；()若累计得分为i的概率为pi(i=1,2,，9)，初始分数为0分，记p0=1.()证明：数列pipi1(i=1,2,，9)是等比数列；()求活动参与者得到“牛肉卷”的概率19.(本小题17分)已知函数f(x)=ax1lnx，aR.()讨论函数f(x)的单调性；()若函数f(x)与函数g(x)=exax1有相同的最小值，求a的值；()证明：对于任意正整数n，1+12!1+23!1+n(n+1)!<e(e为自然对数的底数).答案和解析1.【答案】B 【解析】【分析】本题考查排列、组合数的计算，属于基础题由排列、组合数公式求解即可【解答】解： A53C63=5×4×36×5×43×2×1=402.【答案】D 【解析】【分析】本题考查分步计数原理的应用，属于基础题.每名同学有3种不同的选择，根据分步计数原理解答即可.【解答】解：由分步乘法计数原理可得：不同报法的种数是3×3×3×3=81；故选D.3.【答案】C 【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，双曲线的离心率e=2，求出ba= 3，由此能求出双曲线的渐近线方程 【解答】解：双曲线x2a2y2b2=1的离心率e=2， e=ca=2， c=2a，由c2=a2+b2可得3a2=b2.解得ba= 3， 双曲线的渐近线方程为y=±bax=± 3x.故选C.4.【答案】D 【解析】【分析】本题考查排列组合的应用，属于基础题.根据平均分组求法即可求解.【解答】解：根据题意，分组方法数为  C83C53A22=280 (种).5.【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查了了导数的基本公式，属于基础题根据复合函数的求导法则，和导数的基本公式计算即可【解答】解：y=cos( x)，y= xcos x=12 xsin x.6.【答案】B 【解析】【分析】本题考查二项展开式的特定项和特定项系数，属于基础题.要得到a2,分两种情况讨论即可求解；【解答】解：因为 (x23x2)5=(x23x2)(x23x2)(x23x2)(x23x2)(x23x2)，要得到a2,分两种情况讨论：5个因式取1个x2，取4个2，即C51x224=80x25个因式取2个(3x)，取3个(2)，即C523x223=720x2所以二项展开式中含x2项的系数为6407.【答案】C 【解析】【分析】本题考查条件概率，属于基础题根据要求的结果等于PABP(B)，需要求出A、B同时发生的概率以及B发生的概率，代入算式得到结果 【解答】解：P(A|B)=PABP(B)，P(AB)=C52A3363=518，P(B)=1P(B)=15363=1125216=91216，P(A|B)=PABP(B)=51891216=6091.故选C.8.【答案】B 【解析】【分析】本题考查利用导数比较大小，属于中等题.构造函数f(x)=xmx4，利用导数研究函数的单调性可知函数f(x)=xmx4在1,+上单调递增，且f(7)=0，即可得到答案.【解答】解：因为7m=11，所以m=log7111,1.5，令函数f(x)=xmx4，f(x)=mxm11，因为f(x)=mxm11在R上单调递增，且f(1)=m1>0，所以函数f(x)=xmx4在1,+上单调递增，所以f(5)<f(9)，即5m9<9m13b<a，又因为f(7)=0，所以b<0<a，故答案为B.9.【答案】ABC 【解析】【分析】本题考查随机变量的分布列和等差数列的性质的合理运用，属于基础题.由随机变量X的分布列的性质得a+b+c=1，且a，b，c0,1.由a，b，c成等差数列，得2b=a+c，可以求出c的取值范围，从而能求出P(X=1)=c的可以取的值【解答】解：随机变量X的分布列如下：X101Pabca+b+c=1，且a，b，c0,1.a，b，c成等差数列，2b=a+c，联立，得b=13，a+c=23，所以0c23P(X=1)=c，c可以为13 ，12，35 ，故选：ABC.10.【答案】BC 【解析】解：(x)=f(x)kx，(x)=f(x)k，由题意易得，(x)=f(x)kx的极小值点，相当于G(x)=(kx+b)f(x)的极大值点，(x)=f(x)kx的极大值点，相当于G(x)=(kx+b)f(x)的极小值点，而G(x)相当于图像上直线y=kx+m与曲线y=f(x)的差值函数，由单调性分析可得：G(x)有3个极小值点，2个极大值点，故F(x)有3个极大值点，2个极小值点.故答案为BC.本题考查函数极值(极值点)的概念，属于基础题.利用函数极值(极值点)的概念并结合图象可得答案.11.【答案】ABD 【解析】【分析】本题考查了古典概型和离散型随机变量的期望、方差，属于较难题.对选项A，的可能取值为0，1，2，3，求出概率，再由公式求得E()；对选项B，B(3,58)，再由二项分布的方差公式求得D()；对选项C，X的可能取值为1，2，3，求出概率，再由公式求得E(X)；对选项D，Y的可能取值为0，1，2，求出概率，再由公式求得E(Y).【解答】解：对选项A，从该口袋中任取3个球，取出的红球个数的可能取值为0，1，2，3，则p(=0)=C33C83=156，p(=1)=C51C32C83=1556，p(=2)=C52C31C83=3056=1528，p(=3)=C53C83=1056=528，则E()=0×156+1×1556+2×1528+3×528=158，故A正确；对选项B，每次从该口袋中任取一个球，是红球的概率为58，则取出的红球次数为B(3,58)，则方差D()=3×58×38=4564，故B正确;对选项C，从该口袋中任取3个球，取出的球的颜色有X种，X的可能取值为1，2，3，则p(X=1)=C53C83=1056=528，p(X=3)=C51C21C11C83=1056=528，则p(X=2)=1p(X=1)p(X=3)=1528528=1828=914，则E(X)=1×528+2×914+3×528=2，故C错误；对选项D，每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，拿出白球的个数Y的可能取值为0，1，2，则p(Y=0)=C5