四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期第一次教学质量监测(期中)数学Word版含解析

高2022级高二（下）第一次教学质量监测数学试题一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）1. 某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（    ）A. 24种B. 4种C. 种D. 种【答案】D【解析】【分析】由分步乘法计数原理求解即可.【详解】由题意知每位同学都有3种选择，可分4步完成，每步由一位同学选择，故共有种选择方法.故选：D.2. 已知函数在处取得极小值1，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据极值定义进行求解即可.【详解】由，因为在处取得极小值1，所以有，当时，单调递增，当时，单调递减，所以是函数的极小值点，故满足题意，于是有.故选：C3. 设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A. 有2个极值点B. 为函数的极大值C. 有1个极小值D. 为的极小值【答案】B【解析】【分析】根据x的正负以及的正负，判断的正负，得到单调性即可判断结果.【详解】函数，由图象可知;当时，所以，即函数在上单调递减；当时，所以，即函数在上单调递增；当时，所以，即函数在上单调递减；当时，所以，即函数在上单调递增；所以在和处取得极小值，故C，D错误；在处取得极大值，故B正确，所以有3个极值点，故A错误，故选：B.4. 已知函数，则（ ）A. 在上是增函数B. 在上是增函数C. 当时，有最小值D. 在定义域内无极值【答案】C【解析】【分析】利用导数分析的性质，再逐一分析各选项即可得解.【详解】对于ABD，因为，则，令，所以，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，故ABD错误；对于C，当时，根据的单调性可知，故C正确.故选：C.5. 已知，且若在处的切线与直线垂直，则（ ）A. B. C. D. 0【答案】A【解析】【分析】根据导数的定义求得切线的斜率，根据直线垂直列方程，求得，进而求得正确答案.【详解】依题意，则，所以，所以.故选：A6. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由在上恒成立，再转化为求函数的最值得参数范围【详解】由题意，得，因为在上单调递减，所以在上恒成立，即，令，则，令，得，当时，单调递减；当时，单调递增.所以的最小值为，所以，即的取值范围为.故选：D.7. 已知函数，若，使得成立，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，使得成立，可得函数的值域包含的值域.利用二次函数的性质与导数分析和时，函数的单调性，进而求得的值域和的值域，从而求解.【详解】由，使得成立，则函数的值域包含的值域.当时，函数开口向上，对称轴，所以在上单调递减，且，所以；当时，则，若，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，即，解得；若，则，在上单调递增，此时值域为，符合题意.当时，的值域为，不符合题意.综上所述，实数的取值范围为.故选：B.8. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用，可构造一元函数，可求得，令，利用导数求解最值即可.【详解】因，所以，令，所以，所以在上单调递增，又，所以，所以，所以，令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即的最大值为.故选：A.二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题意要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有错选或不选得0分）9. 下列表述中正确的是（ ）A. 若不存在，则曲线在点处没有切线B. C. 已知函数，则D. 若，则【答案】BD【解析】【分析】举出反例即可判断A，由求导公式即可判断BC，求导可得，再令，代入计算，即可判断D【详解】取，则，在处导数不存在，但在处的切线方程为，故A错误；由基本初等函数的求导公式可得，故B正确；因为，则，故C错误；因为，则，令，则，即，故D正确；故选：BD10. 已知函数的导函数为，对任意的正数，都满足，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】设，利用导数求出的单调性，据此即可判断A和B选项；设，求出的单调性，据此可判断C和D选项.【详解】设，则，所以在上单调递增，由得故A选项错误；由得，故B选项正确；设，则 ，所以在上单调递减，由得，故C选项正确；由得，故D选项错误.故选：BC.11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. 当时，在定义域上恒成立B. 若经过原点的直线与函数的图像相切于点，则C. 若函数在区间单调递减时，则的取值范围为D. 若函数有两个极值点为，则的取值范围为【答案】AC【解析】【分析】对于A，求出导数后判断其符号可得函数的单调性，从而可判断其的正误；对于B，求出函数的导数后求出切线方程，代入所过的点后可求参数的值，从而可判断其正误；对于C，求出函数的导数后利用参变分离可求参数的取值范围，从而可判断其正误；对于D，结合C中的导数，根据极值点的个数结合二次函数的图象和性质可求参数的取值范围，从而可判断其正误.【详解】对于A，当  ， ， ，当 时，故 在上单调递增，当  时，故 在上单调递减，则 ，故A 正确；对于B，因为  ，其中  ，则  ，所以 ，  ，故 的图象在点  处的切线方程为  ，将代入切线方程可得  ，解得 ，故B 错误；对于C， ，则  ，因为  在区间  上单调递减，故 ，  恒成立，可得  ，令  ，其中  ，则  ，当  时，  ，故 在单调递减，当  时，  ，故函数  在单调递增，因为  ，  ，则  ，故  ，故实数  的取值范围是  ，故 C 正确对于D，因为  ，由题意可知，方程  在  上有两个不等的实根，即方程  在  上有两个不等实根，则 ，可得 ，故D 错误，故选：AC【点睛】方法点睛：已知函数的极值点的个数求参数的取值范围，往往需要把导函数化简，找出决定导数正负的核心函数，从而把零点问题转化为二次函数在给定范围上的零点个数问题，后者可结合二次函数的图象来处理.三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.）12. 函数在区间上的最大值是_.【答案】【解析】【分析】利用导数判断的单调性，从而得解.【详解】因为，所以，令，得；令，得；故函数在上单调递减，在上单调递增，所以故答案为：.13. 如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有_种不同涂色方法；（用数字作答）【答案】144【解析】【分析】（1）根据任意两个相邻区域不同色，利用分步计数原理即可求解.【详解】如图，区域1有4种选法，区域2有3种选法，区域3有2种选法，区域4可选剩下的一种和区域1，2所选的颜色有3种选法，区域5从区域4剩下的2种颜色中选有2种选法，共有种.故答案为：144种.14. 已知函数，若直线是曲线的切线，则_；若直线与曲线交于，两点，且，则的取值范围是_.【答案】 . . 【解析】【分析】第一空，对函数求导，设出切点，由导数的几何意义可得，由此可得a的值；第二空，依题意，与的图象有两个交点，利用导数研究函数的性质，可得的取值范围.【详解】，设切点为，则，解得：；由得，设，（，且），则，当或时，此时，递减；当时，此时，递增.当时，；当时，且当时，当时，.所以当时，直线与曲线有两个交点，且，因为，所以，且,令，则，又，则，得，有，设，则，由，在上单调递减，则，设，则，由，有，在上单调递减，则有，可得的取值范围为.故答案为：；.【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知函数在点处的切线与直线垂直.（1）求的值；（2）求的单调区间和极值.【答案】（1） （2）单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求出斜率，利用直线垂直列式求解即可；（2）求出导数方程的根，根据导数与极值的关系列表即可得解.【小问1详解】因为，所以，则，因为函数在点处的切线与直线垂直，故，解得；【小问2详解】因为，所以，令，解得或，令得或，令得，列表如下： 30+0极小值极大值故的单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.16. 已知函数.（1）求在上的最大值；（2）若函数恰有1个零点，求的取值范围.【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）求导得，根据导数的正负确定单调性，即可求解的值，比较大小即可求解，（2）根据函数的单调性求解函数的极值，即可结合三次函数的性质求解.【小问1详解】， 可知时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增，所以， 由，；【小问2详解】当或时，当时，所以在和上单调递增，在单调递减， 所以， 当时，当时，因为有1个零点，故或，所以或，故的取值范围.17. 已知0， 1， 2， 3， 4， 5这六个数字（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？（2）可以组成多少个无重复数字的三位奇数？（3）可以组成多少个无重复数字的小于1 000的自然数？（4）可以组成多少个无重复数字的大于3 000且小于5 421的四位数？【答案】（1）个； （2）个； （3）个； （4）个.【解析】【分析】（1）（2）根据分步乘法计数原理，即可分别求解百位，十位以及个数选择相乘求解，（3）（4）根据分类加法计数原理，结合分步乘法即可求解.【小问1详解】分3步: 先选百位数字有5种选法；十位数字有5种选法；个位数字有4种选法；由分步计数原理知所求三位数共有个【小问2详解】分3步：先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；再选百位数字有4种