二项式定理知识点总结

-二项式定理一、二项式定理：等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数。对二项式定理的理解：（1） 二项展开式有项（2） 字母按降幂排列，从第一项开场，次数由逐项减1到0；字母按升幂排列，从第一项开场，次数由0逐项加1到（3） 二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数，等式都成立，通过对取不同的特殊值，可为*些问题的解决带来方便。在定理中假设，则（4） 要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式二、二项展开式的通项：二项展开式的通项是二项展开式的第项，它表达了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的*些特定项如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等及其系数等方面有广泛应用对通项的理解：（1） 字母的次数和组合数的上标一样（2） 与的次数之和为（3） 在通项公式中共含有这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素例1等于A B。 C。 D.例21求的展开式的第四项的系数；2求的展开式中的系数及二项式系数三、二项展开式系数的性质：对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离的两项的二项式系数相等，即增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即偶数：；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即二项展开式的各系数的和等于，令，即；奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令，即例题：写出的展开式中：（1） 二项式系数最大的项；（2） 项的系数绝对值最大的项；（3） 项的系数最大的项和系数最小的项；（4） 二项式系数的和；（5） 各项系数的和四、 多项式的展开式及展开式中的特定项（1） 求多项式的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用二项式定理展开。例题：求多项式的展开式（2） 求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。例题：求的展开式中的系数例题：1如果在的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。2求的展开式的常数项。【思维点拨】求展开式中*一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定例题：，求：1；2；3.六、二项式定理的应用：1、二项式定理还应用与以下几方面：1进展近似计算2证明*些整除性问题或求余数3证明有关的等式和不等式。如证明：取的展开式中的四项即可。2、各种问题的常用处理方法1近似计算的处理方法当n不是很大，|比拟小时可以用展开式的前几项求的近似值。例题：的计算结果准确到0.01的近似值是A1.23 B1.24 C1.33 D1.34（2） 整除性问题或求余数的处理方法解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数的倍数与*数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的通常为1，假设为其他数，则需对幂的底数再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面或者是*项一、二项就可以了要注意余数的*围，对给定的整数，有确定的一对整数和，满足，其中为除数，为余数，利用二项式定理展开变形后，假设剩余局部是负数，要注意转换成正数例题：求除以7所得的余数例题：假设为奇数，则被9除得的余数是A0 B。2 C。7 D.8例题：当且>1，求证【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定综合测试一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1在的展开式中，的系数为 A B C D2，的展开式按a的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，则正整数n等于A4 B9 C10 D113的展开式的第三项与第二项的系数的比为112，则n是A10 B11 C12 D1345310被8除的余数是A1B2C3D75 (1.05)6的计算结果准确到0.01的近似值是A1.23 B1.24 C1.33 D1.346二项式 (nN)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是 A1 B2 C3 D47设(3*+*)展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，假设t+h=272，则展开式的*项的系数是A B1 C2 D38在的展开式中的系数为A4 B5 C6 D7 9展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是A330 B462 C680 D79010的展开式中，的系数为 A40 B10 C40 D4511二项式(1+sin*)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为，则*在0，2内的值为A或 B或C或 D或12在(1+*)5+(1+*)6+(1+*)7的展开式中,含*4项的系数是等差数列an=3n5的A第2项 B第11项 C第20项 D第24项二、填空题：本大题总分值16分，每题4分，各题只要求直接写出结果.13展开式中的系数是 .14假设，则的值为_.15假设的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中的常数项是.16对于二项式(1-*)，有以下四个命题：展开式中T= C*；展开式中非常数项的系数和是1；展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；当*=2000时，(1-*)除以2000的余数是1其中正确命题的序号是_把你认为正确的命题序号都填上三、解答题：本大题总分值74分.1712分假设展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列（） 求n的值；此展开式中是否有常数项，为什么？1812分()n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数1912分是否存在等差数列，使对任意都成立？假设存在，求出数列的通项公式；假设不存在，请说明理由2012分*地现有耕地100000亩，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口年增加率为1%，则耕地平均每年至多只能减少多少亩准确到1亩？21.12分设f(*)=(1+*)m+(1+*)n(m、n)，假设其展开式中，关于*的一次项系数为11，试问：m、n取何值时，f(*)的展开式中含*2项的系数取最小值，并求出这个最小值.2214分规定，其中*R，m是正整数，且，这是组合数n、m是正整数，且mn的一种推广(1) 求的值；(2) 设*>，当*为何值时，取得最小值？(3) 组合数的两个性质；.是否都能推广到*R，m是正整数的情形？假设能推广，则写出推广的形式并给出证明；假设不能，则说明理由. z.