直线与双曲线位置关系

直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程知识点1：直线与双曲线的位置关系1.直线与双曲线的位置关系的判断设直线y=kx+b，双曲线1 (a>0，b>0)联立消去y得Ax2+Bx+C=0（a0），=B2 4AC。若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若>0,直线与双曲线相交，有两个交点；若=0，直线与双曲线相切，有一个交点；若<0，直线与双曲线相离，无交点；直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。2.弦长问题设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，且由，消去yax2+bx+c=0（a0），=b2 4ac。弦长公式：（k为直线斜率）例题选讲：例1：直线l：ykx1与双曲线C：2x2y21的右支交于不同的两点A、B求实数k的取值范围；解(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故解得k的取值范围是2<k<.例2：已知中心在原点，顶点在轴上，离心率为的双曲线经过点（）求双曲线的方程；（）动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问是否存在直线使平分线段。试证明你的结论。 例3：已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2 (其中O为原点)，求k的取值范围解(1)设双曲线C2的方程为1，则a2413，c24，由a2b2c2，得b21，故C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得k2且k2<1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2. x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又·>2，得x1x2y1y2>2，>2，即>0，解得<k2<3，由得<k2<1. 故k的取值范围为.例4：已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点（1）求双曲线方程；（2）若点在双曲线上，求证：；（3）对于（2）中的点，求的面积解：（1）由题意，可设双曲线方程为，又双曲线过点，解得 双曲线方程为； （2）由（1）可知， ， ， ，又点在双曲线上， ， ， 即； （3）的面积为6 知识点2：抛物线及其标准方程1抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)图形范围x0，yRx0，yR对称轴x轴顶点坐标原点O(0,0)焦点坐标准线方程xx离心率e1题型1：抛物线的定义灵活应用例1：(1)(2011·辽宁高考)已知F是拋物线y2x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B1C. D.(2)(2012·曲阜师大附中质检)在抛物线C：y2x2上有一点P，若它到点A(1,3)的距离与它到抛物线C的焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A(2,1) B(1,2)C(2,1) D(1,2)自主解答(1)如图，由抛物线的定义知，|AM|BN|AF|BF|3，|CD|，所以中点C的横坐标为.(2)由题知点A在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P，使得该点到点A与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P是直线x1与抛物线的交点，故所求P点的坐标是(1,2)答案(1)C(2)B练习1：(2012·安徽高考)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点若|AF|3，则|BF|_.解析：由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|3，由抛物线定义知，点A到准线x1的距离为3，点A的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知，y2，A(2,2)，直线AF的方程为y2(x1)又解得或由图知，点B的坐标为，|BF|(1).答案：题型2：抛物线的标准方程及几何性质例2：(1)(2012·山东高考)已知双曲线C1：1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py (p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2yBx2yCx28y Dx216y(2)(2012·四川高考)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A2 B2C4 D2自主解答(1)双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，2，ba，双曲线的渐近线方程为x±y0，抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，p8.所求的抛物线方程为x216y.(2)依题意，设抛物线方程是y22px(p>0)，则有23，得p2，故抛物线方程是y24x，点M的坐标是(2，±2)，|OM|2.答案(1)D(2)B练习2：若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程解析 设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或题型3：直线与抛物线的位置关系1设抛物线方程为y22px(p0)，直线AxByC0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2nyq0.(1)若m0，当0时，直线与抛物线有两个公共点；当0时，直线与抛物线只有一个公共点；当0时，直线与抛物线没有公共点(2)若m0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行2与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p(为AB的倾斜角)(3)SAOB(为AB的倾斜角)(4)为定值.(5)以AB为直径的圆与准线相切(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切(7)CFD90°.例3：(2012·福建高考)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p>0)上(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点自主解答(1)依题意，|OB|8，BOy30°.设B(x，y)，则x|OB|sin 30°4，y|OB|cos 30°12.因为点B(4，12)在x22py上，所以(4)22p×12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.(2)证明：由(1)知yx2，yx.设P(x0，y0)，则x00，y0x，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0xx.由得所以Q为.设M(0，y1)，令·0对满足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由·0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)练习3：(2012·泉州模拟)如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y24x的焦点F.(1)若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；(2)设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴的交点，试判断AB与抛物线C的位置关系，并给出证明解：(1)抛物线的焦点F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，即x1不符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：yk(x1)，即kxyk0.所以，解得k±.故直线l的方程为：y±(x1)，即x±y10.(2)直线AB与抛物线相切，证明如下：设A(x0，y0)，则y4x0.因为|BF|AF|x01，所以B(x0,0)所以直线AB的方程为：y(xx0)，整理得：xx0把方程代入y24x得：y0y28x0y4x0y00，64x16x0y64x64x0，所以直线AB与抛物线相切基础练习： 1(2012·济南模拟)抛物线的焦点为椭圆1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为()Ax24yBy24xCx24y Dy24x解析：选A由椭圆方程知，a29，b24，焦点在y轴上，下焦点坐标为(0，c)，其中c.抛物线焦点坐标为(0，)，抛物线方程为x24y.2(2012·东北三校联考)若抛物线y22px(p0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为()A2 B18C2或18 D4或16解析：选C设P(x0，y0)，则362p，即p220p360，解得p2或18.3(2013·大同模拟)已知抛物线y22px(p0)的准线与曲线x2y26x70相切，则p的值为()A2 B1C. D.解析：选A注意到抛物线y22px的准线方程是x，曲线x2y26x70，即(x3)2y216是圆心为(3,0)，半径为4的圆于是依题意有4.又p0，因此有34，解得p2.4(2012·郑州模拟)已知过抛物线y26x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()A.或 B.或 C.或 D.解析：选B由焦点弦长公式|AB|得12，所以sin ，所以或.5(2012·唐山模拟)抛物线y22px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)若点F恰为ABC的重心，则直线BC的方程为()Axy0 Bxy0C2xy10 D2xy10解析：选C点A在抛物线上，42p，p2，抛物线方程为y24x，焦点F(1,0)设点B(x1，y1)，点C(x2，y2)，则有y4x1