初中几何经典培优题型三角形
全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1） 可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2） 可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3） 从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4） 若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6) 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答常见辅助线写法：过点A作BC的平行线AF交DE于F过点A作BC的垂线，垂足为D延长AB至C，使BCAC在AB上截取AC，使ACDE作ABC的平分线，交AC于D取AB中点C，连接CD交EF于G点例1 如图，ABCD1，AOC60°，证明：ACBD1。例2(2007年北京中考）如图，已知ABC请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；请你根据使成立的相应条件，证明ABACADAE。例3 已知线段OA、OB、OC、OD、OE、OF。AOBBOCCODDOEEOF60°。且ADBECF2。求证：SOABSOCD SOEF 。例4 如图1，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，如果12，那么34。仔细阅读以上材料，完成下面的问题。如图2，设P为ABCD内一点，PABPCB，求证：PBAPDA。图1 图2集散思想：有些几何题，条件与结论比较分散，通过添加适当的辅助线，将图形中分散，远离了的元素聚集到有关的图形上，使它们相对集中，便于比较，建立关系，从而找出问题的解决途径。平移只能用来作为作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将ABC平移至DEF。1在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点，且EGFH，求证：EGFH。2如图所示，P为平行四边形ABCD内一点，求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC。3如图，已知ABC的面积为16，BC8，现将ABC沿直线BC向右平移a个单位到DEF的位置。当a4时，求ABC所扫过的面积；连接AE、AD，设AB5，当ADE是以DE为一腰的等腰三角形时，求a的值。4如图，AA=BB=CC=1，AOB=BOC=COA=60°，求证：。例1如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且EAF45°，AHEF，H为垂足，求证：AHAB。例2ABC中，ACB90°，ACBC，P是ABC内的一点，且AP3，CP2，BP1，求BPC的度数。例3已知在ABC中，ABAC，P为三角形内一点，且APBAPC，求证：PBPC。有边相等或者有角度拼起来为特殊角的时候可以用旋转边相等时常见图形为正方形，等腰三角形和等边三角形等等角度能拼成的特殊角指的是180°，90°等等例4已知ABC，12，AB2AC，ADBD。求证：DCAC。例5ABC为等腰直角三角形，ABC90°，ABAE，BAE30°，求证：BECE。例6在ABC中，E、F为BC边上的点，已知CAEBAF，CEBF，求证：ACAB。出现轴对称的时候可以考虑翻折，尤其注意有角平分线，有角相等或者出现特殊角的一半的时候，翻折是常用添加辅助线的思想。强调：旋转和翻折只能是一种作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将ABC旋转或翻折至DEF。1如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心方在O点处，并将纸板绕O点旋转，其半径分别交AB、AD于点M、N，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a。2（2008山东）在梯形ABCD中，ABCD，A90°，AB2，BC3，CD1，E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程。3如图，P是等边ABC内一点，若AP3，PB4，PC5，求APB的度数。4已知：在RtABC中，BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，DAE=45°。猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。5如图，已知等腰直角三角线ABC，BD平分ABC，CEBD，垂足为E，求证：BD2CE。6如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB8，BC10，求EC的长。中点的妙用一、倍长中线法例1(北京文汇中学2009-2010期中测试题)，AD是ABC中BC边上的中线，若AB2，AC4，则AD的取值范围是_。 例2已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBE。例3如图1，ABC与BDE均为等腰直角三角形，BAAC，EDBD，点D在AB边上。连接EC，取EC中点F，连接AF，DF，猜测AF，DF的数量关系和位置关系，并加以证明。 图1如图2，将BDE旋转至如图位置，使E在AB延长线上，D在CB延长线上，其他条件不变，则中AF，DF的数量关系和位置关系是否发生变化，并加以证明。图2例4已知四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，求证EFGH为平行四边形。例5如图，已知四边形ABCD中，ABCD，M、N分别为BC、AD中点，延长MN与AB、CD延长线交于E、F，求证BEMCFM 例6已知ABD和ACE都是直角三角形，且ABDACE=90°，连接DE，设M为DE的中点。求证：MBMC；设BADCAE，固定RtABD，让RtACE移至图示位置，此时MBMC是否成立？请证明你的结论。 出现中点的时候一般有以下作辅助线的方法倍长中线法构造中位线如果是直角三角形，经常还会构造斜边上的中线例7如图，已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，点M为EC中点，求证BMD为等腰直角三角形。 1在ABC中，AB12，AC30，求BC边上的中线AD的范围。2在ABC中，D为BC边上的点，已知BADCAD，BDCD，求证：ABAC。3如图，在ABC中，ADBC，M是BC中点，B2C，如图，求证：DMAB4已知ABC中，AC=7，BC4，D为AB中点，E为边AC上一点，且，求CE的长。5在任意五边形ABCDE中，M,N,P,Q分别为AB、CD、BC、DE的中点，K、L、分别为MN、PQ的中点，求证：平行且等于。6如图，已知ABC中，ABAC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BDAB，那么CE是CD的几分之几？ 7四边形ABCD四边中点分别为E、F、G、H，当四边形ABCD满足 时，EFGH为菱形；当四边形ABCD满足 时，EFGH为矩形；当四边形ABCD满足 时，EFGH为正方形。截长补短法例1在ABC中，B=2C，BAC的平分线AD交BC与D。求证：ABBDAC。 例2ABCD是正方形，P为BC上任意一点，PAD的平分线交CD于Q，求证：DQAPBP。例3已知ABC，ABC=90°，以AB、AC为边向外做正方形ABDE和ACFG，延长BA交EG于H，则BC2AH。 补形法例4AD是ABC的角平分线，BEAD交AD的延长线于E，EF/AC交AB于F。求证：AFFB。例5如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，已知BCCD11，DEAB3，求DCEF的值。
