单利与复利
第三节 单利与复利众所周知，同样的货币在不同的时间点上的价值是不等的，即使是在没有风 险和通货膨胀的情况下，现在一元钱的价值也要大于以后的一元钱的价值，这就 是货币的时间价值.利息是货币时间价值的一种表现形式，它有两种计算方法：单利和复利，不 同计息方式下的利息有关计算分别以等差数列和等比数列原理为基础.我们应首先弄清楚“现值”和“终值”两个概念，所谓“现值”就是现在的 价值，即通常所说的本金；“终值”就是若干时期后包括本金和利息在内的未来 价值，通常称本利和.例如，现在存款 1000 元，定期一年，期满后银行支付 1080 元，其中 80 元 是银行使用你的1000 元给的报酬，即利息，这里的 1000元本金就是现值，1080 元本利和就是 1000 元本金一年后的终值.一、单利 仅就本金计算利息的方法.单利是“复利”的对称，它是指计算利息时，上 期利息并不计入本金之内，仅按本金计算的利息，其计算公式如下：单利息二本金X利率X期数假设下列符号分别表示S 终值（本利和）P 现值（本金）i 利率I 利息n 期数（若i为年利率则n为年数，若i为月利率则n为月数）则计算利息公式：I = P - i - n第n期的终值（本利和）S = P + P - i - n二P（1 + in）n公式S二P（1 + in）称为单利终值公式（或本利和公式）.S由S = P（1 + in）易得P =称为单利现值公式，也称为单利折现公式.将（1 + in）终值换算成现值常称为贴现或折现.例1某人在银行存款5000元，半年利率为3.05%，求一年后5000元存款的终值 解：这里 p 二 5000 i 二 3.05% n 二 2由终值公式，半年后的终值为S 二 5000(1 + 3.05% X 2)二 5305 (元)例 2 某企业从银行贷款 25 万元，两年后需要连本带利还银行 28.075 万元，试 计算银行对企业的贷款利率解：由已知，货款利息为：I二S - p二28.075 - 25二3.075 (万元)I 3.075由 I P - i - n 得 i = 0.0615 = 6.15%pn 25X 2即银行对企业的贷款利率为 6.15%.例3 某人准备在银行存一笔款子，以便在5年后得到 10 万元，若银行利率为 4.75%，问现值应存款多少？解：该题已知终值S 10万元 年利率i =4.75%期数n 5求现值的问题P - =100000=80808.08(元)(1 + in) 1 + 4.75% x 5例 4 某人若每月初在银行存款 1000 元. 储蓄利息按年利率 2.85%计算，求一年到 期的本利和.解：这种储蓄形式为零存整取，它的本利和就是每个月存款到年底的终值 之和由单利终值公式S P(1 + in)n第 1 个月存款的终值为 S P(1 + 12i) = 1000(1 +12 x 竺5%)=1028.51 122.85%第 2 个月存款的终值为 S P(1 + 11i) = 1000(1 +11 x 丄一%) =1026.132 12第 12 个月存款的终值为S P(1 + i) 1000(1 + 85%) =1002.3712 12以上的S ,S ,S是一个以iP为公差的等差数列，由求和公式1 2 12一年到期的本利和为a + aS T一仔X12 6X(1028.5+1002.37) =12185.22 (元)2例 5 某人贷款购买一辆汽车，首付 5 万元，剩余款分三年付清，每年付款 2 万 元，若银行贷款利率为 6.15%，试求车身总成本价为多少？ 解：车身价格即是每期付款的现值之和由单利现值公式P=S（1 + in）第1年付款的现值为p二需°%二廊心(元)第2年付款的现值为P2200001 + 2 x 6.15%二 17809.44 （元）第3年付款的现值为P3200001 + 3 x 6.15%二 16884.76 （元）车身总成本 =5+53535.46=103535.46（元） 二、复利1. 复利终值复利不同于单利，它不仅要计算本金上的利息，也要计算利息所产生的利 息，即所谓“利上滚利”.按这种计算方法计息，每期末结息一次，然后将利息 加入本金作为下一次计息的基础，复利终值的计算公式推导如下：S = P + P - i = P (1 + i)S 二 S + S - i 二 S (1 + i)二 P(1 + i)22111S = S + S - i = S (1 + i) = P(1 + i)22111S = S + S - i = S (1 + i) = P(1 + i)nnn-1n-1n-1所以n期复利终值公式为S 二 P(1 + i) n其中(1 + i)n表示n期后1元的复利终值，称为复利终值系数，记作F，Fi ,ni,n的值可以查用复利终值系数表(附录一) ,因此复利终值公式也可以写成：S 二 P - Fi,n例6设货币的时间价值为5%.求当n=20，30和40时，1000元现值的各期终值？解： 这里P二1000 , i二5% .由终值公式当n=20, 30和40时，各期终值 分别为：S = 1000X(1 + 5%)20 = 1000 F= 1000x2.653 = 2653 (元)205%,20S = 1000x(1 + 5%)30 = 1000 F= 1000x4.322 = 4322 (元)305%,30S = 1000x (1 + 5%)40 = 1000 F = 1000x 2.653x2.653 = 7038.4 (元)405%,40现若货币时间价值为 10%，那么各期终值为：S = 1000x (1 +10%)20 = 1000 F= 1000x6.727 = 6727 (元)20 10%,20S = 1000x(1 +10%)30 = 1000 F = 1000x 17.449 = 17449 (元)3010%,30S = 1000x (1 +10%)40 = 1000 F= 1000x6.727x6.727 = 45252.5 (元)4010%,40例7 某公司现从留存盈余中提出24万元进行投资，准备若干年后建造一价值为 48万元的职工宿舍，若投资收益率为 8%，试确定多少年才能达到造房所需的款 项？解:由 S = P(1 + i)n有 48 二 24(1 + 8%)n, (1 + 8%)n 二 2所以 n = log 2 u 9(1+8%)也可以通过查表求n,从附表可以看到(1 + 8%)n二1.939，接近于2的值，因此n二9，即大约需要9年可以达到建房所需的款48万元. 在公式的运用中，有时不能在表中得到所需要的数字，但可以由表上提供的 数据为基础，采用“线性插值法”进行测算，进而求得所需的数字.例 8 某人选择了一项开放式基金作为投资工具进行长期投资, 他选择一次性投 资策略投资2 0万元,希望3年后能获得3 0万元，那投资收益率达到多少时才能 实现这一目标呢?解：由 S 二 P(1 + i)n有 300000 二 200000(1 + i) 3即(1 + i)3 二 1.5所以 i 二 *15 -1 u 14.46%也可以通过查表运用插值法进行测算从表上可以查到，当 i 二 14% , F 二 1.482i,n当 i 二 15% 时，F 二 1.521i,n可见，所求的利率一定是介于 14%和 15%之间，现用线性插值法进行计算 复利终值系数1.4821、0.0181.5 J>0.0391.521利率14%1 x% ?% 丨>1%15%则有兰二 0018 x 二 0.4610.039 i 二 14% + 0.46% 二 14.46%注意插值法是一种近似计算方法，它只在假设利率和终值之间是直线关系下 的一种计算方法，因此在查表过程中一定要选择相邻的两个数字，否则会产生较 大的误差.插值法求利率近似值的公式为F - Fi = i + (i i ) °l10121 F -Fi2 i1其中i < i < i , F , F , F分别为利率i ,i ,i下的复利终值系数1 0 2i0 i1 i20 1 22. 复利现值将复利终值换算成现值，称为复贴现，简称贴现.由复利终值公式S二P(1 + i)n，变形后，可得复利现值公式(或贴现公式)S(1 + i) n公式中表示n期后一元的复利现值，叫做复利现值系数或贴现系数, (1 + i) n记作P，它的值也可在现成的表(附表2)查到.i,n例9 4期后收到2000元，若货币时间价值为3%，其现值是多少？解：这里 S 二 2000 ，i 二 3%，n = 4S 2000 P =2000 - P = 2000 x 0.888 = 1776 (元)(1 + i) n (1 + 3%)43%,4若上述的题目中，货币时间价值为 10%，那么其现值是多少？S(1 + i) n2000(1 +10%)4=2000 - P = 2000 x 0.683 = 136610%,4元)一般地，从现值公式可以看出，当S , n (或i )一定时，P随着n (或i ) 的增加而减少.3. 名义利率与实际利率按惯例，复利计息中如无特殊说明，规定的利率一般都是年利率，但在实际 经济活动中，计息期有时可能短于一年，如半年、季、月、日等.例如：某些债 券半年计息一次；有的抵押贷款每月计息一次；股利有时每季支付一次；银行之 间拆借资金每日计息一次等等.名义利率是指债券、票据的票面利率，实际利率 是指按年计息办法计算出的终值所对应的利率.当利率在一年内复利多次时，相同年利率下每年计算多次的终值会大于每年 计息一次的终值若一年内复利m次，年利率为i,则复利终值公式为S 二 P (1 + ) mnm例10某公司向银行借款5万元,年利率6.15%,分别按年复利和季复利计息，问两 年后应向银行偿还多少本利和?解:按年复利计息，则S = 50000(1 + 6.15%)2 二50000x 1.12678二56339 (元)按季复利计息，则每年计息4次，即m = 4 , n = 2 由公式, 知两年后的本利和S = 50000(1 + .)4x2 = 50000(1 +1.54%)8 = 50000 x 1.13 = 56502.45 (元) 4本例中所给出的年利率 6.15%就是名义利率, 而实际利率则应是按年复利计 息办法求出终值56502.45 元的利率, 它可计算如下:设实际年利率为i，则056502.45 = 50000(1 + i ), (1 + i )2 = 56502.45 = 1.130050000查复利终值系数表, F=1.1236, F =1.14496%,27%,2由插值法计算可得i = 6.3 %0也就是说,如果有两家银行,一家按季复利的年利率为 6.15%,另一家按年复利的年利率为 6.3%,则这两家银行的贷款利息完全相同.实际利率i和名义利率i可以进行如下换算0
