新版北师大版数学选修11教案：第2章知识点拨：椭圆的简单性质

新版数学北师大版精品资料www.ks5u.com椭圆的简单性质点拨一基础知识精讲1.椭圆+=1(ab0)，范围：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里，即xa，yb.2.对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，即为椭圆的中心.3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0，b),B2(0,-b)4.离心率：e=,(oe1),e越接近于1，则椭圆越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于圆.5.椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0e1)的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点，定直线为椭圆的准线.6.椭圆的焦半径公式：设P(x0,y0)是椭圆+=1(ab0)上的任意一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则PF1=a+ex0,PF2=a-ex0.7.椭圆的参数方程二命题趋势分析1.熟练掌握椭圆的第二定义，两种形式的标准方程及几何性质，运用它们及参数间的关系解决相关问题.2.必要时，椭圆方程可设为mx2+ny2=1(m0，n0)，这样计算简洁，还可避免对焦点位置的讨论.3.遇到弦的中点问题时，常用点差法.三重点难点例析通过“圆的方程”的学习我们知道，圆的几何性质问题用代数的方法解题简便，计算量小的特点，同样，椭圆也有类似的几何性质，那么在学习本节之前要复习椭圆的定义及标准方程，在此基础上来学习椭圆的几何性质，掌握椭圆的性质，标准方程，及椭圆的第二定义.例1P是椭圆方程为+=1上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，试求PF1·PF2的取值范围.解析：设PF1=t,则ta-c,a+c，即t4-，4+且PF2=2a-t=8-t.PF1·PF2=t(8-t)=-(t-4)2+16 t4-，4+当t=4时，取最大值为16，当t=4±时，取最小值为9.所求范围为9，16。例2F1、F2是椭圆的两个焦点，过F2作一条直线交椭圆于P、Q两点，使PF1PQ，且PF1=PQ，求椭圆的离心率e.解析：如下图，设PF1=t，则PQ=t，F1Q=t，由椭圆定义有：PF1+PF2=QF1+QF2=2a，PF1+PQ+F1Q=4a 即(+2)t=4a,t=(4-2)a，PF2=2a-t=(2-2)a，在RtPF1F2中，F1F12=(2c)2，(4-2)a2+(2-2)a2=(2c)2=9-6 e=-，例3已知P是椭圆+=1(ab0)上的一点，F1F2为两焦点，且F1PF2P，若P到两准线的距离分别为6和12，求此椭圆方程.解析：(利用椭圆第二定义求解)点P到两准线的距离分别是6和122·=6+12 即a2=9c由椭圆第二定义知，e=d1=6,d2=12 PF1=6e,PF2=12e又PF1PF2 PF12+PF22=F1F2236e2+144e2=4c2 e= a2=45又a2=9c c=5 b2=a2-c2=20，所求椭圆的方程的+=1例4在椭圆3x2+4y2=12上，是否存在相异的两点A、B关于直线y=4x+m对称并说明理由.解析：设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0)，直线AB：y=-x+t,将AB的方程代入椭圆的方程消去y得，13x2-8tx+16t2-48=0=(-8t)2-4×13×(16t2-48)0，-t且x1+x2=t又AB的中点M在直线y=4x+m上，t=4×t+m t=-m代入式得：-m。解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆上关于直线l:y=4x+m对称的两点，则+=1+=1-得+=0=而KAB=-，故有=-，设AB的中点为(x,y)，则有x1+x2=2x,y1+y2=2y，代入即得AB中点的轨迹方程为y=3x.由由于AB的中点在椭圆内部+1m2，-m。故当m(-，)时，椭圆C上有不同的两点关于直线对称.例5椭圆=1上不同三点A(x1,y1),B(4, ),C(x2,y2)与焦点F(4，0)的距离成等差数列.(1)求证：x1+x2=8。(2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k.解析：由题知a=5,b=3,c=4.(1)由椭圆的第二定义知：=AF=a-x1=5-x1同理有CF=5-x2AF+CF=2BF 且BF=(5-x1)+(5-x2)=即x1+x2=8。(2)线段AC的中点为(4，)，它的垂直平分线方程为y-=(x-4)，又点T在x轴上，设其坐标为(x0,0)，代入上式得，x0-4=点A(x1,y1),B(x2,y2)都在椭圆上y21=(25-x21),y22=(25-x22)，y21-y22=-(x1+x2)(x1-x2)，将此式代入并利用x1+x2=8得x0-4=-。kBT=。