最新高中数学理高考一轮复习教案8.4直线与圆圆与圆的位置关系

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系(1)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题(3)初步了解用代数方法处理几何问题的思想知识点一直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点<00>0几何观点d>rdrd<r易误提醒对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在情形必备方法求圆的弦长的常用方法：(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2r2d2.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式|AB|x1x2|.注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题自测练习1直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)21的位置关系是()A相交B相切C相离 D与m的取值有关解析：圆心到直线的距离d<1r，故选A.答案：A2若a2b22c2(c0)，则直线axbyc0被圆x2y21所截得的弦长为()A. B1C. D.解析：因为圆心(0,0)到直线axbyc0的距离d，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于，所以弦长为.答案：D3过点(2,3)与圆(x1)2y21相切的直线的方程为_解析：设圆的切线方程为yk(x2)3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k，所以切线方程为4x3y10，又直线x2也是圆的切线，所以直线方程为4x3y10或x2.答案：x2或4x3y10知识点二圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径r1，r2，d|O1O2|)相离外切相交 内切内含图形量的关系d>r1r2dr1r2|r1r2|<d<r1r2d|r1r2|d<|r1r2|易误提醒两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形自测练习4圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是()A相离 B相交C外切 D内切解析：圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径r11，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径r22，故两圆的圆心距d，而r2r11，r1r23，则r2r1<d<r1r2，故两圆相交答案：B考点一直线与圆的位置关系|1对任意的实数k，直线ykx1与圆C：x2y22x20的位置关系是()A相离B相切C相交 D以上三个选项均有可能解析：直线ykx1恒经过点A(0，1)，圆x2y22x20的圆心为C(1,0)，半径为，而|AC|<，故直线ykx1与圆x2y22x20相交，故选C.答案：C2(2015·皖南八校联考)若直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对称，则k，b的值分别为()A.，4 B，4C.，4 D，4解析：因为直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对称，所以直线ykx与直线2xyb0垂直，且直线2xyb0过圆心，所以解得k，b4.答案：A3若直线xmy10与圆x2y22x0相切，则m的值为()A1 B±1C± D.解析：由x2y22x0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即1，解得m±.答案：C判断直线与圆的位置关系常见的两种方法(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数法：联立方程之后利用判断考点二切线、弦长问题|(1)(2015·高考重庆卷)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|()A2B4C6 D2(2)(2016·太原一模)已知在圆x2y24x2y0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A3 B6C4 D2解析(1)由题意得圆C的标准方程为(x2)2(y1)24，所以圆C的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2a10，解得a1，所以|AB|2|AC|2|BC|2(42)2(11)2436，所以|AB|6，故选C.(2)将圆的方程化为标准方程得(x2)2(y1)25，圆心坐标为F(2，1)，半径r，如图，显然过点E的最长弦为过点E的直径，即|AC|2，而过点E的最短弦为垂直于EF的弦，|EF|，|BD|22，S四边形ABCD|AC|×|BD|2.答案(1)C(2)D处理切线、弦长问题的策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题1直线l与圆x2y22x4ya0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为(2,3)，则直线l的方程为()Axy30 Bxy10Cxy50 Dxy50解析：设直线的斜率为k，又弦AB的中点为(2,3)，所以直线l的方程为kxy2k30，由x2y22x4ya0得圆的圆心坐标为(1,2)，所以圆心到直线的距离为，所以，解得k1，所以直线l的方程为xy50，故选C.答案：C2(2016·云南名校联考)已知圆O：x2y21，直线x2y50上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为_解析：过O作OP垂直于直线x2y50，过P作圆O的切线PA，连接OA(图略)，易知此时|PA|的值最小由点到直线的距离公式，得|OP|.又|OA|1，所以|PA|2.答案：2考点三圆与圆的位置关系|1(2016·惠州调研)圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切 B相交C外切 D相离解析：两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<<5，所以两圆相交答案：B2若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有()A1条 B2条C3条 D4条解析：如图，分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆依题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)答案：C3若圆x2y24与圆x2y22ay60(a>0)的公共弦的长为2，则a_.解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2y22ay6)(x2y2)04y，又a>0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知 1a1.答案：1求解两圆位置关系问题的两种方法(1)两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到19.直线与圆的位置关系中的易错问题【典例】对于任意实数m，直线l：ym(x1)b恒与圆O：x2y2a2(a>0)有两个交点，则a，b满足的条件是_易错点析对直线l方程分析不彻底，盲目利用法或几何法无法判断导致失误解析由题意知，直线l经过定点M(1，b)又直线l恒与圆O：x2y2a2(a>0)有两个交点，所以，点M在圆的内部，所以，12b2<a2，即a2b2>1.答案a2b2>1方法点评点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交点与圆的位置关系法适用于动直线问题跟踪练习(2016·大连双基)圆x2y21与直线ykx2没有公共点的充要条件是_解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k21)x24kx30，直线与圆没有公共点的充要条件是16k212(k21)<0，解得k(，)法二：圆心(0,0)到直线ykx2的距离d，直线与圆没有公共点的充要条件是d>1，即>1，解得k(，)答案：(，)A组考点能力演练1(2016·洛阳二练)已知圆C：x2y24，若点P(x0，y0)在圆C外，则直线l：x0xy0y4与圆C的位置关系为()A相离B相切C相交 D不能确定解析：由题意：圆C的圆心到直线l的距离d，点P(x0，y0)在圆x2y24外，xy>4，d<2，直线l与圆相交答案：C2已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为()A(x2)2(y2)21B(x2)2(y2)21C(x2)2(y2)21D(x2)2(y2)21解析：C1：(x1)2(y1)21的圆心为(1,1)，所以它关于直线xy10对称的点为(2，2)，对称后半径不变，所以圆C2的方程为(x2)2(y2)21.答案：B3(2015·长春二模)设m，nR，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范围是()A(，2222，)B(，22，)C22，22D(，22，)解析：由直线与圆相切可知|mn|，整理得mnmn1，由mn2可知mn1(mn)2，解得mn(，2222，)，故选A.答案：A4过点(2,3)的直线l与圆x2y22x4y0相交于A，B两点，则|AB|取得最小值时l的方程为()Axy50 Bxy10Cxy50 D2xy10解析：本题考查直线与圆的位置关系由题意得圆的标准方程为(x1)2(y2)25，则圆心C(1，2)，过圆心与点(2,3)的直线l1的斜率为k1.当直线l与l1垂直时，|AB|取得最小值，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y3x(2)，即xy50，故选A.答案：A5在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x2)2y25上的任意一点，点Q(2a，a2)，其中aR，则线段PQ长度的最小值为()A. B.C. D.解析：设点Q(x，y)，则x2a，ya2，x2y40，点Q在直线x2