2013版高考数学专题辅导与训练配套课件：2.2函数与方程及函数的应用(湖北专供-数学文)

第二讲 函数与方程及函数的应用【考情快报】(1)主要考查函数的零点,常以分式、绝对值不等式、对数式、三角函数为载体；考查确定零点的个数、存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围;函数的实际应用常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题.(2)函数的零点主要是以选择题、填空题的形式考查,以基础知识为主，而函数的实际应用则主要以解答题的形式出现.属中、高档题. 【核心自查】一、主干构建二、概念理解1.函数的零点及函数的零点与方程根的关系对于函数f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点,函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.2.零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不间断的一条曲线,并且有_,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.提醒：f(a)·f(b)0是图象连续不间断的函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件.f(a)·f(b)0三、重要公式几种常见的函数模型(1)一次函数模型:y=ax+b(a0).(2)二次函数模型:y=ax2+bx+c(a0).(3)指数函数模型:y=a·bx+c(a0,b0且b1).(4)对数函数模型:y=blogax+c(b0,a0且a1).(5)分段函数模型:f(x)= (A1A2=Ø).g(x),xA1, h(x),xA2. (6)形如y=ax+ ,x(0,+)(a0,b0)的函数模型.提醒：形如y=ax+ ,x(0,+)(a0,b0)的函数模型,一般是利用基本不等式求函数的最值.热点考向 一 函数零点的确定与应用【典例】1(2012·湖南高考)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，f(x)是f(x)的导函数当x0,时，0f(x)1；当x(0，)且x 时，(x- )f(x)0，则函数y=f(x)-sin x在-2，2上的零点个数为( )(A)2(B)4(C)5(D)82.已知函数f(x)=logax+x-b(a0，且a1).当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n,n+1),nN*，则n=_.【解题指导】1.先根据导数确定函数y=f(x)在区间0,上的草图,再根据偶函数确定区间-,0)上的图象,最后画出函数y=f(x)在区间-2，2上的图象,在同一坐标系下画出y=sin x在区间-2，2上的图象,根据曲线的交点判断零点的个数.2.先由条件判断出函数f(x)在(0，+)上的单调性，然后利用函数的零点存在定理求出函数的零点所在区间，与(n,n+1)对照，从而求出n.【解析】1.选B.由当x(0，)且x 时，(x- )·f(x)0，知x(0, )时，f(x)0,f(x)为减函数；x( ,)时，f(x)0,f(x)为增函数；又x0,时，0f(x)1，在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，在同一坐标系中作出y=sin x和y=f(x)的草图如下，由图知y=f(x)-sin x在-2，2上的零点个数为4个. 2.构造两个函数y=logax和y=x-b，因为y=logax(2a3)，所以其在(0，+)上为增函数，又y=x-b在(0，+)上也为增函数，所以f(x)=logax+x-b(2a3)在(0，+)上是增函数.f(2)=loga2+2-blogaa+2-b=3-b0,f(3)=loga3+3-blogaa+3-b=4-b0，x0(2,3)，又x0(n,n+1),nN*，所以n=2.答案：2【互动探究】试证明本例第1题中的函数y=f(x)-sin x在区间(0, )上有且仅有一个零点.【解析】x(0, )时，f(x)0,y=f(x)-cos x0,y|x= =f( )-sin =f( )-10，f(c)c不可能成立，故选D.2.(角度新)函数f(x)= g(x)=x2f(x-1)(xR)，则函数g(x)的零点个数有_个.1 x0， 0 x=0，-1 x0，【解析】g(x)= 作出g(x)的图象，知图象与x轴的交点个数即零点个数，为2.答案：2x2 x1，0 x=1， -x2 x13.(角度新)设点P(x0,y0)是函数y=tan x与y=-x(x0)的图象的一个交点，则( +1)(cos 2x0+1)=_【解析】由题意可得，tan x0=-x0,( +1)·(cos 2x0+1)=(1+tan2x0)(2cos2x0)=2(cos2x0)×( +1)=2.答案：24.(背景新)诺贝尔奖发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)中为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增.假设基金平均年利率为r=6.24%.资料显示：2002年诺贝尔奖发奖后基金总额约为19 800万美元.设f(x)表示为第x(xN*)年诺贝尔奖发奖后的基金总额(2002年记为f(1). (1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2012年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由.(参考数据：1.062 491.72,1.031 291.32)【解析】(1)由题意知：f(2)=f(1)·(1+6.24%)- ·f(1)·6.24%=f(1)·(1+3.12%),f(3)=f(2)·(1+6.24%)- ·f(2)·6.24%=f(1)·(1+3.12%)2,f(x)=19 800·(1+3.12%)x-1(xN*).(2)2011年诺贝尔奖发奖后基金总额为：f(10)=19 800·(1+3.12%)926 136,2012年度诺贝尔奖各项奖金金额为 × ×f(10)×6.24% 136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元.答：新闻“2012年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”不是真的，是假新闻.