直线与圆锥曲线的位置关系问题典型例题分析

直线与圆锥曲线的位置关系问题典型例题分析直线与圆锥曲线的位置关系问题典型例题分析直线与圆锥曲线的位置关系是高考考查的重点和热点，涉及交点个数问题、弦 的问题、对称问题、最值问题、取值范围问题等，现将其分类总结如下，供同学们复习时 参考。 一、直线与圆锥曲线交点问题 研究直线与圆锥曲线交点问题，通常将直线方程与圆锥曲线方程联立，将交点个数问 题转化为一元二次方程解的问题，利用判别式讨论之 注意：（1）数形结合思想的运用；（2）在用到直线斜率时注意斜率不存在的情况；（3)在研究直线与双曲线时注意 直线与双曲线的渐近线平行的情况。例例 1 已知集合与集合，当为( , )|1Mx yykx22( , )|99Nx yxyk何值时MN 有两个元素MN 只有一个元素MN 没有元素【解析】：由消去整理22199ykxxy y22(19)18180kxkx若即，则=2190k1 3k 22(18 )4 18(19)kk 236(29)k当即且时，MN有两个元素0 22 33k1 3k 当即时，MN只有一个元素0 2 3k 当即或时，MN 没有元素0 2 3k 2 3k 若即时，直线与双曲线的渐近线平行，2190k1 3k 1ykx2299xy直线与双曲线只有一个交点，即 MN只有一个元素1ykx2299xy综上所述当且时，MN有两个元素22 33k1 3k 当或 时，MN只有一个元素2 3k 1 3k 当或时，MN 没有元素2 3k 2 3k 【评析】 本题研究的是直线与圆锥曲线交点个数问题，将其转化为直线方程与圆锥 曲线方程联立组成的方程组解的个数问题，注意数形结合和特殊情况。 二、圆锥曲线上点关于直线对称问题 这类问题通常，先设出对称点的坐标，写出过对称点的直线方程，与圆锥曲线方程联 立化为一元二次方程，利用根与系数关系和中点公式，求出对称点的中点坐标，利用对称 点的中点在直线上，对称点连线与对称轴垂直解题。例 2 已知抛物线 y=x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于A.3 B.4 C.3 D.422【解析】：设直线的方程为，由，得 AByxb11(,)A x y22(,)B xy23yxyxb 由韦达定理知230xxb121xx 的中点，又在直线上AB11(,)22Mb11(,)22Mb0xy解得，11022b1b ，220xx121xx 122x x 由弦长公式222 121|1 114( 2)3 2ABkxx 故选 C【评析】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系 三、参数的取值范围问题 这类问题有两种方法， （1）根据题意结合图形列出所讨论参数适合的不等式(组） ，通 过解不等式组求出参数的范围；（2）将所讨论的参数表示为关于另一个参数的函数问题， 用求函数值域的方法求解。例 3 设、分别是椭圆的左、右焦点，过定点的直线 与1F2F1422 yx)2 , 0(Ml椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点） ，求直线 的斜率ABAOBOl 的取值范围.k【解析】：显然直线不满足题设条件，可设直线 ：，0x l2ykx12,A x y22,B xy联立，消去，整理得：2 2214ykxxyy2214304kxkx1212 2243,11 44kxxxx kk 由得：或2214434304kkk 3 2k 3 2k 又000090cos000A BA BOA OB 12120OA OBx xy y 又2 121212122224y ykxkxk x xk xx222238411 44kkkk 221 1 4kk ，即 22231011 44kkk 24k 22k 故由、得或322k 322k【评析】为了求参数的取值范围，用的是函数法四、直线与圆锥曲线中的最值问题解决这类问题，通常结合图形，转化为函数的最值问题，用求函数的最值的方法求 解，注意函数的定义域和直线斜率不存在的情况。例 4 已知椭圆 C:，直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直2 213xy线 l 的距离为，求AOB 面积的最大值.23【解析】： 设，11()A xy，22()B xy，（1）当轴时，ABx3AB （2）当与轴不垂直时，ABx设直线的方程为ABykxm由已知，得 23 21mk 223(1)4mk把代入椭圆方程，整理得，ykxm222(31)6330kxkmxm，1226 31kmxxk21223(1) 31mx xk222 21(1)()ABkxx222 2 2223612(1)(1)(31)31k mmkkk22222222212(1)(31)3(1)(91) (31)(31)kkmkk kk 2422 212121233(0)3419612 3696kkkkkk 当且仅当，即时等号成立当时，2 219kk3 3k 0k 3AB 综上所述max2AB当最大时，面积取最大值ABAOBmax133 222SAB【评析】本题是将其转化为关于直线斜率的函数问题，利用均值不等式求最值。五、直线与圆锥曲线位置关系中的弦的问题对弦长问题，将其化为一元二次方程，运用韦达定理与弦长公式解之；弦的 中点问题或中点轨迹问题 常用参数法或平方差法处理之。例 5 已知双曲线，求过点 M（3，1）的弦的中点轨迹方程。2 214yx 【解析】：设过 M（3，1）的弦的中点,弦的端点坐标为 A，B( , )P x y11(,)x y22(,)xy 2 21 114yx 2 22 214yx 122xxx -得 122yyy1212 1212()()()()04yyyyxxxx当 时，=，=12xxABK2121yy xx 12124()xx yy 4x yMPK1 3y x 又A，B，M，P 共线， =ABKMPK即=，化简得4x y1 3y x 224120xyxy当 时，P（3，0）也适合12xx过 M（3，1）的弦的中点的轨迹方程为224120xyxy【评析】本题是双曲线的弦的中点的轨迹问题，用的是平方差法，本题也可用参数法。练习：1、已知以 F1（2,0） ，F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，043yx则椭圆的长轴长为（A）（B）（C）（D）236272242、中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线 3xy2=0 截得的弦的中点2的横坐标为，则椭圆方程为( )2112575D. 17525C.1252 752B. 1752 252A.22222222 yxyxyxyx3 、斜率为 1 的直线 l 与椭圆+y2=1 相交于 A、B 两点，则|AB|的最大值为( )42xA头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 2B头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 C头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 D头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 554 5104 51084、抛物线上的点 P 到直线有最短的距离,则 P 的坐标是22yx4yxA,(0,0) B, C, D,1(1, )21( ,1)21 1( , )2 25、经过抛物线 y的焦点 F 的直线 L 与该抛物线交于 A,B 两点x42（） 线段 AB 的斜率为 k，试求中点 M 的轨迹方程；（）直线的斜率 k2，且点 M 到直线 3 x+4y+m=0 的距离为，试确定 m 的取51值范围 6、已知抛物线 y2=2px(p0),过动点 M(a,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的 两点 A、B，且|AB|2p头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 (1)求 a 的取值范围头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，求NAB 面积的最大值头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 7、已知倾斜角为的直线 过点，若直线 与双曲线45°l(12)A，l相交于两点，且线段的中点坐标为，求的值2 2 2:1(0)xCyaaEF，EF(41)，a答案 1、C 2、C 3、C 4、C5、 (1) 设 A(直线 AB 的方程为 y=k(x-1) (k0),代入),(),2211yxByx得,42xy k x -(2k +4)x+k =02222设 M(x ,y)，则 .2 2,2 22122 21kyyykkxxx点 M 的坐标为()2,222kkk 于是消去 k，可得 M 的轨迹方程为222(0)yxx(2)由于d= ,51 5242322mkkk所以,31862mkk即 0, 得k1 210,111 32m 即 或 1522m