2025版高考数学总复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程提能训练
第1讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程A组基础巩固一、单选题1(2024·山东学情质检)直线xy10的倾斜角是( D )A. BC D解析由直线的方程得直线的斜率为k，设倾斜角为，则tan ，又0，)，所以.故选D.2如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( D )Ak1<k2<k3 Bk3<k1<k2Ck3<k2<k1 Dk1<k3<k2解析直线l1的倾斜角1为钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角2与3均为锐角且2>3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D.3下列说法正确的是( A )A直线xy20与两坐标轴围成的三角形的面积是2B点(0,2)关于直线yx1的对称点为(2,1)C过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为D经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为xy20解析A中直线在坐标轴上的截距分别为2，2，所以围成三角形的面积是2，故正确；设点(0,2)关于直线yx1的对称点为(a，b)，则解得a1，b1，故点(0,2)关于直线yx1的对称点为(1,1)，故B错误；C选项需要条件y2y1，x2x1，故错误；D选项错误，还有一条截距都为0的直线yx.4(2024·山西孝义联考)已知直线l：3mx(12m)y2 0230的倾斜角为，则m( C )A1 B1C D解析因为直线l的倾斜角为，所以斜率ktan 1，所以1，解得m.故选C.5(2024·河南郑州外国语学校月考)已知直线l的方程为xsin y10，R，则直线l的倾斜角范围是( B )A. BC. D解析设直线的倾斜角为(0<)，由l：xsin y10知ksin ，故ktan ，所以当k时，直线l的倾斜角；当k时，直线l的倾斜角；故直线l的倾斜角，故选B.6(2023·云南模拟)若等边三角形一边所在直线的斜率为3，则该三角形另两条边所在直线斜率为( C )A， B，C， D，解析如图，ABC为正三角形，设AB的倾斜角为，则tan kAB3，则kBCtan，kACtan，故选C.7直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M(1，2)恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为( B )A2xy0 B2xy40Cx2y30 Dx2y50解析设P(x0,0)，Q(0，y0)，M(1，2)为线段PQ中点，x02，y04，直线PQ的方程为1，即2xy40.8(2024·山西孝义联考)如果AB>0且BC<0，那么直线AxByC0不经过( C )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析由AB>0且BC<0，可得A，B同号，B，C异号，所以A，C也是异号令x0，得y>0；令y0，得x>0，所以直线AxByC0不经过第三象限故选C.9(2024·山东济南中学月考)若直线yax1与连接A(2,3)，B(3,2)的线段总有公共点，则a的取值范围是( B )A.B.1，)C.D(，2解析由直线yax1可得直线的斜率为a，且过定点P(0,1)，又A(2,3)，B(3,2)，则由图可得，要使直线与线段AB总有公共点，需满足akPA或akPB，又kPA1，kPB，a1或a.故选B.二、多选题10(2024·江苏苏州常熟中学调研)直线l1：axyb0，l2：bxya0(ab0，ab)，下列图象中正确的是( BC )解析直线l1：yaxb，l2：ybxa(ab0，ab)，A选项，由图可知：l1：l2：所以A选项错误B选项，由图可知：l1：l2：所以B选项正确C选项，由图可知：l1：l2：所以C选项正确D选项，由图可知：l1：l2：所以D选项错误故选BC.11(2024·江苏连云港中学月考)已知ABC的三个顶点为A(3,2)，B(2,3)，C(4,5)，则下列说法正确的是( BCD )A直线AC的斜率为B直线AB的倾斜角为钝角CBC边上的中线所在的直线方程为xy50D边AB所在的直线方程为x5y130解析对于A选项，kAC3，A错；对于B选项，kAB，所以，直线AB的倾斜角为钝角，B对；对于C选项，线段BC的中点为D(1,4)，则kAD1，所以，BC边上的中线所在的直线方程为y4(x1)，即xy50，C对；对于D选项，边AB所在的直线方程为y2(x3)，即x5y130，D对故选BCD.12(2024·河南洛阳强基联盟联考)已知直线l经过点P(3，4)，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线l的方程为( AC )Axy10 B4x3y0Cxy70 D4x3y240解析由题意知直线l的截距存在且不为零，所以可设直线l的方程为1，又直线l过点P(3，4)所以1，又l与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，所以|a|b|.当ab时，1，解得a1，即直线l的方程为xy10；当ab时，1，解得a7，即直线l的方程为xy70.综上所述，直线l的方程为xy10或xy70.故选AC.三、填空题13(2024·河南新未来质检)已知A(0,2)，B(3,0)，C(m，1m)三点共线，则m 3.解析由题意可知kABkAC，即，解得m3.14(2023·江西新余一中开学考)过点A(5,2)，且在y轴上的截距等于在x轴上的截距的2倍的直线的一般方程是_2x5y0或2xy80_.解析若直线过原点，设其方程为ykx.则25k，k，所求直线方程为2x5y0；若直线不过原点，设其方程为1，则1，a4，所求直线方程为2xy80.15如图，在ABC中，已知A(5，2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则直线BC的方程为_x2y10_.解析设M(0，a)，N(b,0)，C(m，n)，A(5，2)，B(7,3)，又M是AC的中点，5m0，m5，N是BC的中点，3n0，n3，点C的坐标为(5，3)，则kBC，BC的方程为y3(x7)，即x2y10.B组能力提升1(多选题)(2024·河南漯河中学摸底)下列说法正确的是( ABC )A点斜式yy1k(xx1)适用于不垂直于x轴的任何直线B斜截式ykxb适用于不垂直于x轴的任何直线C两点式适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线D截距式1适用于不过原点的任何直线解析A，B，C均正确，D中，与坐标轴平行的直线也不能用截距式表示故选ABC.2(2024·广东深圳实验中学期中)已知点A(2，1)，B(3,0)，若点M(x，y)在线段AB上，则的取值范围是( A )A.3，) BC(，13，) D1,3解析设Q(1,2)，则kQA3，kQB，因为点M(x，y)在线段AB上，所以的取值范围是3，)，故选A.3(2024·重庆重点中学月考)已知直线l：(2m1)x(m1)ym0经过定点P，直线l经过点P，且l的方向向量a(3,2)，则直线l的方程为( A )A2x3y50 B2x3y50C3x2y50 D3x2y50解析(2m1)x(m1)ym0可变形为xym(2xy1)0，解得即P点坐标为(1,1)因为a(3,2)3，所以直线l的斜率为，又l过点P(1,1)，代入点斜式方程可得y1(x1)，即l：2x3y50.故选A.4(2024·江苏盐城学情调研改编)若直线过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程为 xy10或xy30或2xy0.解析当直线在两坐标轴上截距都为0时，其方程为y2x，即2xy0；当直线在两坐标轴上截距存在且不为0时，设其方程为1，则解得或直线方程为1或y1，即xy30或xy10.5已知直线l：kxy12k0(kR)(1)求证：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线与两坐标轴所围成三角形面积为4，求直线l的方程；(4)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程解析(1)证明：设直线过定点(x0，y0)，则kx0y012k 0对任意kR恒成立，即(x02)ky010恒成立所以x020，y010.解得x02，y01，故直线l过定点(2,1)另证：kxy12k0可化为y1k(x2)，显然x2，y1时对任意k方程都成立，故直线过定点(2,1)(2)直线l的方程为ykx2k1，则直线l在y轴上的截距为2k1，要使直线l不经过第四象限，则解得k的取值范围是k0.(3)依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，由题意得4，解得k或k或k，故所求直线方程为x2y40或(23)x2y4(1)0或(23)x2y4(1)0.(4)又<0，且12k>0，k>0，S(44)4，当且仅当4k，即k时，等号成立故S的最小值为4，此时直线l的方程为x2y40.
