概率习题解(锦城)

第三章 连续型随机变量 1. 设随机变量 X 的密度函数为(2),02( )0,Axxxf x= 其它(1)求 A;(2)计算概率. (01)PX解: (1) 由密度函数的归一性, 有 222223000181( )(2)(2)()(4)33xAf x dxAxx dxAxxdxA xxA+=4 3= 所以3 4A= (2) 112300331(01)(2)()443PXxx dxxx=1 2. 2. 设随机变量 X 的密度函数为 cos ,( )22 0,Axxf x= 其它, (1) 求常数 A; (2)计算概率(0)4PX;(3)求 X 的分布函数. 解:(1) 由密度函数的归一性, 有 22221( )cossin2f x dxAxdxAxA+= 所以, 1 2A=. (2) 44 0011(0)cossin422PXxdxx=2 4(3) X 的分布函数为 ( )( )xF xf t =dt 当2x时, ( )1F x =; 当(,2 2x) 时, 2111( )( )cos(sin( 1)(sin1)222xxF xf t dttdtxx= =+ 所以, X 的分布函数为 0,2 1( )(sin1),221,2xF xxxx2=00232,( )0,xxexfx>= 其它4. 设随机变量 X 的分布函数为 220,1( )ln ,11,xF xAxxexe=(2) 设12,3XXX是对X进行的三次独立观测, 则123,XXX独立同分布. 三次独立观测中观测值大于 3 的情况是三重贝努利试验, 记Y为三次独立观测中观测值大于 3 的次数, 则2(3, )3YB, 故 2233 3321220(2)(2)(3)( ) ( )( )33327P YP YP YCC=+=+=. 7. 设 X 服从指数分布( )e, 求证: 对于任意的, t0>, 有 (|)(P XtXtP X)> +>=>. 证明: X有密度函数 ( ),0xf xex=>从而有 (),xttP Xtedxet+>=>0于是有, 8. 某仪器装有 6 只独立工作的同型号电子元件, 其寿命(单位:小时)1 ()Xe. 求在仪器使用的最初 200 小时内: (1)恰有一只元件损坏的概率; (2)至少有一只元件损600坏的概率. 解: X有密度函数 6001,0( )600 0,x exf x>= 其它故20012006006003 0 01(200)1600xx P Xedxee= = 六只独立工作的同型号元件寿命612,XXX?与X独立同分布, 而六只元件在最初 200 小时内损坏的情努试验, 记Y为 6 只元件在最初 200 小时内损坏的只数, 则况是 6 重贝利1 3(6,1)YBe, 于是 (1) 1151 1153333 6(1)(1) ()6(1),P YCeeee= (2) 11 006)233 6(1)1(0)1(1) (1P YP YCeee= = = . 随机变量9. 设X有概率密度 ()(,)()(|)()()()ttP XtXtP XteP XtXteP XP XtP Xte + > +>> +> +>=>>>33,0( )0,0.xAx exf xx>=, (1) 求的值; (2) 问AX服从何种分布? 解: (1) 由密度函数的归一性, 334 1(3 )00621( )(3 )(3 )(4)81818127xxAAAf x dxAx edxxedx+=A= 所以, 27 2A= (2) 由 gamma 分布的密度函数可知, (4,3)X. 10. 设, 利用标准正态分布计算下列概率: (0,1)XN(1) ; (2) (0.7P X); (3) (1.5P X >5); (4) (22.5)PX = = = 1(3)(0)1 0.99870.50.5013= += +=(3) (1.55)1(1.55)1( 1.551.55)1(1.55)( 1.55)P XP XPX>= = = + 2(1(1.55)2(1 0.9394)0.1212= (4) (22.5)( 2.52.5)(2.5)( 2.5)2(2.5) 1PXPX8); (4) (11P X = =(96)1(96)P XP X>= 9672241()1()0.023= = =, 即有24()0.9770=, 但, 得(2)0.9770=12=. 所以 84726072(6084)()()(1)( 1)2 (1) 11212PX= = = 2 0.8413 10.6826=× =13. 设成年男子身高服从正态分布(单位:厘米), (1) 求成年男子身高大于 160cm 的概率;(2)公共汽车门应设计多高, 才能使成年男子上车时碰头的概率不大于 5%? (3) 在这个设计下, 求 100 个成年男子上车时, 至少有 2 个人应该低头的概率. 2(170,10 )N解: (1)160 170(160)1(160)1()1( 1)(1)0.841310P XP X>= = = = =, (2)设应设计为 厘米高, 则应有, 但是 h()0.05P Xh=170()1()1(10hP XhP Xh)= 时, . ( )0Xfx =当时, 02y112200331( )( , )223Y1 2fyf x y dxx ydxyxy+= 而当或时, 0y ( )0Yfy =15. 设(, )X Y的联合密度函数为 3 ,01,0,( , )0,xxyf x yx>= 其它., (1) 确定常数A; (2) 求X及Y的边缘密度函数; (3) 求; (4) 问(1,3P XY )X与 是否独立? Y解: (1) 由密度函数的归一性, 有 2230011( , )6xyRf x y dxdyAedxedyA+= 所以, . 6A =(2) 由( )( , )Xfxf x y+=dy, 知当0x>时, 有(23 )20( )62xyx Xfxedye+=, 而x取其它值时, ( , )0f x y =, 从而也有( )0Xfx =, 即 22, 0,xex= 0> 其它( )Xfx, )同理, ( )(Yyf+=fx y dx0( ), 故当时, 有 0y>(23 )633,xyy Yfye+dxe=0> 其它3(23 )6xyedy+( )Yfy13( ,dxf x y 即 33, 0,yey= (3) 113230000(1,3)23xyYdydxedxedy=P X(1=29)(1)ee (3) 由于对任意的, x y, 都有( , )( )X( )Yf x yfx fy=, 所以X与Y是独立的. 上均匀分布, 17. 设二维随机变量,X Y在矩形域G1,2 2,4=×(1) 写出(, )X Y的联合密度及边缘密度; (2) 计算概率. (4P XY+ )解: (1) 矩形域的面积为 2, 所以G(, )X Y的联合密度为 1,( , )( , )2 0,x yGf x y= 其它.421( )X并且, 当12时, x( , )12fx+Xfxf x y dydy=, 所以有 1,12( )0,x= 其它. 同理, 当时, 24y2111( , )22f x y dxdx=( )Yfy+, 所以有 1,242 0,y( )Yfy= 其它.(2) 242121 411(4)( , )f x y dxdy(2)22xx yYdxdyx dx+ +=P X 2 2111 112 (2 1)1 (1)22 24x= = =1 418. 设X与是两个相互独立的随机变量, 已知, 的密度函数为 Y(0,1)XUY1 21,0( )2 0,yYeyfy>= 其它.(1) 求X与Y的联合密度; (2) 设含有a的二次方程220aaXY+=, 求有实根的概率. a解: (1) 由于X与Y相互独立, 所以 1 21,01,0( , )( )( )2 0,yXYexyf x yfx fy= 其它.(2) 有实根等价于方程的判别式非负, 即a22(2)44()0XYXY =a, 从而 有实根的概率为 2221111222 0001(0)()( , )(1)2xyxxyPPP XYf x y dxdydxedyedx= =22 1122 00111212 (1)(0)0.14452xx edxedx= = = =19. 设随机变量X与Y独立, 且都在1,3上服从均匀分布；引进事件, “AXa=“BYa=>. 若已知7()9P AB =. 求常数 . a解: 显然, . (否则, A,B 两个事件中必有一个概率为 0, 一个概率为 1, 矛盾), 从而, 有 1a=注意到X与 独立, 所以与YAB也独立. 从而, 有 7()( )( )(9P ABP AP BP AB=+) 2131 37( )( )( ) ( )22224aaaaaP AP BP A P Ba=+=+=+40即 , 解得293635aa+=1257,.33aa= 20. 设(, )X Y服从二维正态分布1(0,0;4,9; )2N. (1) 写出(, )X Y的联合密度函数( , )f x y. (2) 写出(, )X Y的两个边缘密度函数( ),( )XYfxfy. 解: (1) (, )X Y的联合密度函数为 222222111( , )exp2142 2 3912(1 ( ) )121 ( )2212exp, ,49276 3xxyyf x yxxyyx yR = +=+(2) 由定理 3.3.4(P54), X 的边缘密度函数为 281( ),2 2xXfxexR= Y 的边缘密度函数为 2181( ),3 2yYfyeyR=. 21. 设区域 G 由 x 轴、y 轴及直线 x+y=1 围成, (, )X Y在 G 上服从二维均匀分布. (1) 写出(, )X Y的联合密度函数( , )f x y. (2) 求 X,Y 的边缘密度函数( ),X( )Yfxfy. (3) 问X与Y是否独立? 解: (1) 区域 G 的面积为1 2, 从而(, )X Y的联合密度函数为 2,( , )( , )0,( , )x yGf x yx yG=. (2) X 的边缘密度函数为 ( )( , )Xfxf x y+=dy 由于当或0x1x时, ( , )0f x y =, 从而( )0Xfx =; 当01x=(1) 若,求Y的密度函数. (2) 若2YX=+32YX=, 求Y的密度函数. 解: (1) 当时, ; 而当时, 3y ( )0YFy =3y >33 22 03( )()(23)()( )2yy x YyFyP Yy