第8章 整式乘除与因式分解（知识点汇总·沪科版七年级下册数学）

第八章 整式乘除与因式分解（一）幂的运算：1同底数幂的乘法n个相同因式（或因数）a相乘，记作an，读作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，an的结果叫做幂。底数相同的幂叫做同底数幂。同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：aman=am+n。注意：底数可以是多项式或单项式。如：此法则也可以逆用，即：am+n = aman。开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。2同底数幂的除法同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：（都是正整数）。此法则也可以逆用，即：am-n = am÷an（a0）。3零指数与负指数公式: （1）零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a0=1（a0）。（2）负指数幂：任何不等于零的数的p次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即：（是正整数）注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。注意：00，0-2无意义；（2）有了负指数，可用科学记数法记录小于1的数，例如：0.0000201=2.01×10-5 .绝对值小于1的数可记成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）。4幂的乘方幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（am）n表示n个am相乘。幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（都是正整数）此法则也可以逆用，即。5积的乘方积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即（是正整数）。此法则也可以逆用，即：anbn =（ab）n。6三种“幂的运算法则”异同点（1）共同点：法则中的底数不变，只对指数做运算。法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。对于含有3个或3个以上的运算，法则仍然成立。（2）不同点：同底数幂相乘是指数相加。幂的乘方是指数相乘。积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。（二）整式乘法：1单项式的乘法单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。2单项式与多项式的乘法单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。即(都是单项式)。注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。3多项式的乘法多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。注意：多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。运算结果中有同类项的要合并同类项。对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。（三）、完全平方公式与平法差公式1平方差公式，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。公式特点：有一项完全相同，另一项只有符号不同平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成（a+b）(a-b)的形式，然后看a2与b2是否容易计算。2完全平方公式即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。完全平方公式可以逆用，即：公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式。掌握理解完全平方公式的变形公式：常用变形：（四）、整式除法1单项式除以单项式的法则（1）单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式（2）根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。2多项式除以单项式的法则（1）多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。用字母表示为：。（2）多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号。（五）、因式分解1定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式的积例：因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。2分解因式的基本方法：（1）提公因式法：定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。 例：的公因式是 解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部分都含有因式，故多项式的公因式是2.提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。例1：把分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。解：例2：把多项式分解因式解析：由于，多项式可以变形为,我们可以发现多项式各项都含有公因式（）,所以我们可以提取公因式（）后,再将多项式写成积的形式.解：=例3：把多项式分解因式解：=（2）运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。注意：公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。例1：因式分解解：=例2：因式分解解：=（3）分组分解法（拓展）将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式分解因式解：=将多项式分组后能运用公式进行因式分解. 例：将多项式因式分解解：=（4）十字相乘法（形如形式的多项式，可以考虑运用此种方法） 方法：常数项拆成两个因数，这两数的和为一次项系数 例：分解因式 分解因式补充点详解 补充点详解我们可以将-30分解成p×q的形式， 我们可以将100分解成p×q的形式，使p+q=-1, p×q=-30,我们就有p=-6, 使p+q=52, p×q=100,我们就有p=2,q=5或q=-6,p=5。 q=50或q=2,p=50。 所以将多项式可以分 所以将多项式可以分解为 解为52 -6503分解因式的技巧：如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。(1) 因式分解时，有公因式要先提公因式，然后考虑其他方法；(2）因式分解时，有时项数较多时，看看分组分解法是否更简洁(3)变形技巧：符号变形 当n为奇数时， 当n为偶数时，增项变形：例：拆项变形：例：8