罗必达法则应用研讨本科毕业论文

毕业设计(论文) 课 题 名 称 罗必达法则应用研讨 系、年级专业 理学系06级信息与计算科学 摘 要极限问题是高等数学的基本问题之一 ，如何求极限又是极限问题的核心，求解极限问题有很多方法，其中未定式极限的求解方法常用罗必达法则。本文将从罗必达法则的定理出发分析应用罗必达法则求极限应注意的几个问题；通过解析相关例题总结出用罗必达法则求各种类型未定式极限的一般程序 ；通过类比解析一类利用罗必达法则不能得心应手，不能通过简单套用得出结果的求极限问题来分析如何克服罗必达法则运用的弱点，从而选择恰当、合适的方法来灵活解题。最后，通过以上对罗必达法则求极限方法的分析及在解某些题目时与其它求极限方法 的优劣对比，能够达到深刻理解罗必达法则求不定型极限的定理，熟练掌握用罗必达法则求极限的方法，正确应用其它求极限的方法辅助解题，简化解题过程。 关键词：罗必达法则；未定式；解题方法；极限ABSTRACT Limit problem is one of the basic problems of higher mathematics, While how to calculate limit is the core of the limit problem.There are a large number of ways to calculate limit.To undetermined type,the most commonly method is Luo Hôpital's rule.This thesis start from the theorem of Luo Hôpital's rule to analyse several issues that should be pay attention to when use the theorem to calculate limit problem ; through resolving some relevant examples to sum up the general procedure of solving all kinds of undetermined type limits problem ; and through comparing different methods to solve a kind of limit problem which is a hard nut to crack to Luo Hôpital's rule to analysis of how to overcome the weaknesses of Luo Hôpital's rule and choose the appropriate, suitable and flexible approach to solve the problem.Finally,by compare of the strengths and the weaknesses of a variety of ways in calculate limit, we can deep understanding of Luo Hôpital's rule and master this method to solve limit problem , also we can use other ways to help solve problems correctly and simplify the process of problem solving.Key Words: Luo Hôpital's rule undetermined type limit Problem Solving Method 目录摘 要IABSTRACTII第1章 绪论11.1 数学家罗必达简介11.2 罗必达法则的提出11.3 掌握罗必达法则求极限的意义2第2章 罗必达法则的定理32.1 定理的内容32.2 定理的证明32.3 定理的限定条件分析82.4 举例解析各类未定式极限8第3章 用罗必达法则解题应注意的问题10 3.1 定理条件的限定性103.2 罗必达法则的失效103.3 使用罗必达法则解题过程繁琐10第4章 如何克服罗必达法则在解题中的弱点114.1 结合恒等变形与极限四则运算简化解题过程114.2结合无穷小量替换简化解题过程134.3结合泰勒公式简化解题过程134.4结合拉格朗日中值定理简化解题过程15总 结37参考文献38致谢39附录40第1章 绪论1.1 罗必达（L'Hospital）罗必达是十七世纪世界著名的数学家之一，1661年出生于法国的贵族家庭，1704年2月2日在巴黎去逝。他一生聪明好学，在15岁时就学会解旋转线的问题。罗必达最突出的成就是对微积分学的贡献，创造的罗必达法则传至今日。罗必达早年曾在军队里担任骑兵军官职位，后来因为视力听不佳而不得不退出军队。这也成为罗必达人生中一个重大的转折点。此后罗必达潜心学习数学，在瑞士数学家白努力的门下学习微积分，并成为法国新解析的主要成员。罗必达所著的无限小分析（1696）一书是微积分学方面最早的教课书，在十八世纪时为一模范著作，书中详细介绍了用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限的算法。罗必达逝世后，白努利发表声明该法则及许多的其它发现归功于罗必达。其著作阐明曲线的无穷小分析 1696，是世界上第一本系统的微积分学教科书，他由一组定义和公理出发，全面地阐述了变量、无穷小量、切线、微分等概念，这对传播微积分理论起了很大的作用。罗必达还写作过几何，代数及力学方面的文章。他亦计划写一本名为圆锥曲线分析论的书。但因天嫉英才，英雄早逝而未完成。其遗留的手稿由白努力帮其发表，于1720年巴黎出版。 1.2 罗必达法则的提出 十七世纪著名法国数学家罗必达L'Hospital在微积分这个领域卓有成就，他最著名的著作是阐明曲线的无穷小分析，这是世界上第一本微积分的教科书，书中记载着著名的罗必达法。1696罗必达提出了处理 和不定型极限的方法，后人命名为罗必达法则。1.3 熟练掌握罗必达法则求极限的意义 罗必达法则的提出无疑是解决某些零比零或无穷比无穷型极限计算的一个简便有力的工具。可是学生在使用罗必达法则时经常会得出一些错误的结果或者难以得出结果。这种现象，从教学和学习方法的角度来看是值得进行分析研究的。 首先，学生在学习一个定理时往往习惯于记公式，套结论，不善于去分析公式中的条件。本文帮助学生去培养分析问题的能力。深刻理解定理的内涵，熟悉定理的使用条件，归纳总结解题的一般步骤，灵活使用各种方法辅助解题，开拓解题思路。 通过对罗必达法则的深入分析，能够使读者对罗必达法则学得深，学的活，进而也培养学分析问题的能力。第2章 罗必达法则的定理2.1 定理概述定理1 设 （1）当xa时，函数f(x)及F(x)都趋于零； （2）在点a的某去心领域内，; （3）（或为无穷大） 那么 这就是说，当存在时，也存在且等于；当为无穷大时，也是无穷大。这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为罗必达法则。定理2设（1） 当时函数飞f(x)及F(x)都趋于零；（2） 当|x|>N时与都存在，且；（3） 存在（或为无穷大） 那么 2.2 定理的证明 以定理1为例 定理2同理可证 证：因为求与f(x)及F(x)无关，所以可以假定f(x)=F(x)=0于是由条件（1）（2）知道，f(x)及F(x)在点a的某一领域内是连续的。设x是这个领域内的一点，那么在以x及a为端点的区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有(在x与a之间) 令xa,并对两端求极限，注意到xa 时 ，再根据条件（3）便得证 如果 当xa时仍是零比零型，且这时 能满足定理中f(x)及F(x)满足的条件，那么可以极限使用罗必达法则先确定从而确定即 且可以依次类推。2.3定理限定条件的分析的2.3.1罗必达法则的条件（1）告诉我们，只有不定型极限才能使用罗必达法则，在每次使用罗必达法则之前，必须检查所求极限是否属这两种类型的不定型。如果不是就不能使用罗必达法则，否则就会得出错误的结果。 例1 求极限 这个极限既不是型的不定式，也不是型的不定式。如果使用罗必达法则就会得出如下错误的结果： 事实上，根据极限运算法则有 =1例2 求极限 同理这个极限也不是不定型，而是确定型。如果用罗必达法则会得出错误答案 = =1 而正确解法为： =0 由此可见，不是型或型的不定式就不能使用罗必达法则否则就会出错。 2.3.2 罗必达法则的条件（2）要求在a的某去心领域内从而保证了洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。2.3.3分析罗必达法则的条件（3）尤其应该注意此条件只是充分条件，而不是必要条件。因此，当极限不存在也不是时，就不能肯定原极限也不存在。这时，应当改用其他方法。例3： （用罗必达法则） = 由于右边的极限不存在，故左边的极限，即原极限也不存在。 这个结论是错误的，上式中的等号不成立。事实上，我们有 = =3/52.3.4罗必达定理给出的不定型只有两种 型，型 而对于这些不定型如型的未定型，则应先转换为型型再来计算。具体解法将在下节详细解析 2.4 解析各类未定型极限 2.4.1对型极限的求解分析： 例4 :求 分析： 逐一判断是否符合罗必达法则的使用条件，首先这是一个型的未定式极限问题，符合罗必达法则使用条件（1），其次每次使用罗必达法则之前，必须检验是否属于型或型未定式。若不是未定式，则不能再使用罗必达法则。此题解法如下 解：=（仍为型，可继续使用罗达法则） =（同上） =（同上） =1 2.4.2 对型极限的求解分析 例5 求 （n>0) 分析：此题为型不定式极限，其解题步骤与型类似，需要注意的地方仍就是每次使用罗必达法则之前，必须检验 解：原式= = = 0例6 求 （n为正整数>0) 解： 相继应用罗必达法则N次，得 =.=0 2.4.3 对不定型极限的求解分析