数列的综合问题

10数列的综合问题突破点(一)数列求和1公式法与分组转化法：(1)公式法；(2)分组转化法；2倒序相加法与并项求和法：(1)倒序相加法； (2)并项求和法：在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5 050. 3裂项相消法：(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(2)常见的裂项技巧：. 4错位相减法分组转化法求和例1已知数列an，bn满足a15，an2an13n1(n2，nN*)，bnan3n(nN*)(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn.解(1)an2an13n1(nN*，n2)，an3n2(an13n1)，bn2bn1(nN*，n2)b1a1320，bn0(n2)，2，bn是以2为首项，2为公比的等比数列bn2·2n12n.(2)由(1)知anbn3n2n3n，Sn(2222n)(3323n)2n1.方法技巧分组转化法求和的常见类型(1)若anbn±cn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组转化法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和错位相减法求和例2(2016·山东高考)已知数列an的前n项和Sn3n28n，bn是等差数列，且anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意知，当n2时，anSnSn16n5，当n1时，a1S111，满足上式，所以an6n5.设数列bn的公差为d.由即所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)·2n1，又Tnc1c2cn，得Tn3×2×223×23(n1)×2n1，2Tn3×2×233×24(n1)×2n2，两式作差，得Tn3×2×2223242n1(n1)×2n23n·2n2，所以Tn3n·2n2.方法技巧错位相减法求和的策略(1)如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列an·bn的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解(2)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解裂项相消法求和例3数列an的前n项和为Sn2n12，数列bn是首项为a1，公差为d(d0)的等差数列，且b1，b3，b9成等比数列(1)求数列an与bn的通项公式；(2)若cn(nN*)，求数列cn的前n项和Tn.解(1)当n2时，anSnSn12n12n2n，又a1S12112221，也满足上式，所以数列an的通项公式为an2n.则b1a12.由b1，b3，b9成等比数列，得(22d)22×(28d)，解得d0(舍去)或d2，所以数列bn的通项公式为bn2n.(2)由(1)得cn，所以数列cn的前n项和Tn11.突破点(二)数列的综合应用问题1.等差、等比数列相结合的问题是高考考查的重点，主要有：(1)综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差(比)中项、等差(比)数列的性质；(2)重点考查基本量(即“知三求二”，解方程(组)的计算以及灵活运用等差、等比数列的性质解决问题.2.数列与函数的特殊关系，决定了数列与函数交汇命题的自然性，是高考命题的易考点，主要考查方式有：(1)以数列为载体，考查函数解析式的求法，或者利用函数解析式给出数列的递推关系来求数列的通项公式或前n项和；(2)根据数列是一种特殊的函数这一特点命题，考查利用函数的性质来研究数列的单调性、最值等问题.3.数列与不等式的综合问题是高考考查的热点.考查方式主要有三种：(1)判断数列问题中的一些不等关系，如比较数列中的项的大小关系等.(2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，求不等式中的参数的取值范围等.(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题.等差数列与等比数列的综合问题例1在等差数列an中，a1030，a2050.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn2an10，证明：数列bn为等比数列；(3)求数列nbn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公差为d，则ana1(n1)d，由a1030，a2050，得方程组解得所以an12(n1)×22n10. (2)证明：由(1)，得bn2an1022n101022n4n，所以4.所以bn是首项为4，公比为4的等比数列(3)由nbnn×4n，得Tn1×42×42n×4n，4Tn1×42(n1)×4nn×4n1，得3Tn4424nn×4n1n×4n1.所以Tn.方法技巧等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略(1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序(2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的数列与函数的综合问题例2设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图象上(nN*)(1)证明：数列bn为等比数列；(2)若a11，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2，求数列anb的前n项和Sn.解(1)证明：由已知，bn2an0.当n1时，2an1an2d.所以数列bn是首项为2a1，公比为2d的等比数列(2)函数f(x)2x在(a2，b2)处的切线方程为y2a2(2a2ln 2)(xa2)，它在x轴上的截距为a2.由题意，a22，解得a22.所以da2a11，所以ann，bn2n，则anbn·4n.于是Sn1×42×423×43(n1)×4n1n×4n，4Sn1×422×43(n1)×4nn×4n1.因此，Sn4Sn4424nn·4n1n·4n1.所以Sn.方法技巧数列与函数问题的解题技巧(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形(2)解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决数列与不等式的综合问题例3(2016·郑州质量预测)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an2.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2a1log2a2log2an，求使(n8)bnnk对任意nN*恒成立的实数k的取值范围解(1)由Sn2an2可得a12.因为Sn2an2，所以，当n2时，anSnSn12an2an1，即2.所以an2n(nN*)(2)由(1)知an2n，则bnlog2a1log2a2log2an12n.要使(n8)bnnk对任意nN*恒成立，即k对任意nN*恒成立设cn(n8)(n1)，则当n3或4时，cn取得最小值，为10，所以k10.即实数k的取值范围为(，10方法技巧数列与不等式相结合问题的处理方法(1)如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等(2)如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了全国卷5年真题集中演练1.(2012·新课标全国卷)数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为()A3 690 B3 660 C1 845 D1 830解析：选D不妨令a11，根据题意，得a22，a3a5a71，a46，a610，所以当n为奇数时，an1，当n为偶数时构成以a22为首项，以4为公差的等差数列所以前60项和为S60302×30×41 830.2(2015·新课标全国卷)Sn为数列an的前n项和已知an>0，a2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和解：(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.，得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由an>0，得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an2n1.(2)由an2n1可知bn.则Tn.3(2014·新课标全国卷)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明：<.解：(1)由an13an1得an13.又a1，所以是首项为，公比为3的等比数列所以an，即an. (2)证明：由(1)知.因为当n1时，3n12×3n1，所以，即.于是1<.4(2013·新课标全国卷)已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解：(1)设an的公差为d，则Snna1d.由已知可得解得a11，d1.故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知()，从而数列的前n项和为. 检验高考能力一、选择题1(2017·皖西七校联考)在数列an中，an，若an的前n项和Sn，则n()A3 B4 C5 D6解析：选D由an1则Snn，将各选项中的值代入验证得n6.2在数列an中，a11，a22，an2an1(1)n，那么S100的值为()A2