高数(工学下)习题10(含答案)_图文

一、选择题一、选择题( (每小题每小题 3 3 分分, ,共共 1818 分分) ) 1. 若p级数11p nn=收敛,则(). (A)1p (D)1p 难度等级难度等级：1；知识点：级数的敛散性 答案答案:C. 2. 设L为抛物线2xy =上10 x的弧段,则Lxds =(). (A)1(5 51)12 (B) 155( (C)121(D) 155(81 难度等级难度等级：1；知识点：第一类曲线积分 答案答案:(A). 3. 曲面tan()xyz+=23023在点( ,)1 1 1 处的法线方程为（）. （A）xyz=+=+11 41 9（B）xyz=+3 410 9（C）xyz=+ =+ 11 41 9（D）xyz= =+3 410 9答案答案： （C） 难度等级难度等级：1；知识点：曲面的切平面与法线. 分析分析：曲面方程可以变为23230xyz+=+=，其的法向量为 2(,)(1,4 ,9).xyzF F Fyz=在点( ,)1 1 1 处，(,)(1, 4,9),xyzF F F=只有(D)的方向向量与其相同，所以应选(C). 4. 设为球面2222(1)xyza a+=>的上半部分的上侧,在求 ()222xdydzydzdxzdxdyxyz+时，需要补充曲面后使用 Gauss 公式，下面补法正确的是(). (A)222 1:0()zxya=+取下侧 (B)12, +其中222 12:0(1),:zxya=+以原点为心的单位球面上半部分取下侧 (C)2222 1:(0)xyzaz+=取下侧 (D)222 1:0()zxya=+取上侧 难度等级难度等级：1；知识点：高斯公式 答案答案:(B) 分析分析: A,C,D 均包含原点，在该点不连续，故只有 B 可选. 5. 函数()是微分方程42yyx=的通解. (A) 112yx=+ (B) 2x yCe= (C) 2 121 2x yCexC=+ (D) 2112x yCex=+ 难度等级难度等级：1；知识点：一阶线性微分方程 答案答案:D. 6. 若区域D为222xyx+，则二重积分22Dx xy dxdy+化成累次积分为( )D (A)2cos2 02cos2 cosdrrdr (B)2cos300cos dr dr (C)2cos32 002cos dr dr (D)2cos32 022cos dr dr 答案： （D） 难度等级：1；知识点：二重积分的极坐标表示二次积分 分析区域D在极坐标下可表为:,02cos22Dr，选项中 B,C 不符合积分限，选项 A 被积函数不对，故选 D 二、填空题二、填空题( (每小题每小题 3 3 分分, ,共共 1818 分分) ) 7.向量1(22)3aijk=+rrrr的方向余弦分别为_. 难度等级：1；知识点：向量代数 分析分析:| 1,a =r2cos,|3x a=r同样2cos,3= 1cos.3= 答案答案:2cos,3=2cos,3= 1cos.3= 8.函数44222zxyxyxy=+的驻点为_. 难度等级：1；知识点：多元函数极值 答案答案:(0,0),(1,1),( 1, 1). 9. 交换累次积分的次序:2221( , )_.yydyf x y dx+=难度等级：1；知识点：二重积分 答案答案:222141012( , )( , )( , ).yxxyxxdyf x y dxdxf x y dydxf x y dy+=+10.若2(1sin2 )cosyx dxykxdy+为某二元函数的全微分,则_.k =答案答案: :2.k = 分 析分 析 : : 由 全 微 分 条 件 可 得2(1sin2 )(cos)0,yxykx yx+ =即 有2 sin2sin.yxykkx=因此2.k = 11. 方程xydyxe dxye=+的通解为 答案：答案：221()02xyxyeec+=难度等级：难度等级：1；知识点：可分离变量方程；知识点：可分离变量方程. 分析分析将方程变为()()0xyxedxye dy+=，这是全微分方程，积分得221()02xyxyeec+=。 12. 设( )f x是 周 期 为的 周 期 函 数 , 它 在 区 间(0, 上 定 义 为2,(0)2( ), 1,()2xx f x xx+故级数13!nn nn n=发散. 15.在曲面22260xyz+=上求一点，使该点处的切平面垂直于直线215 213xyz+=，并求该切平面. 难度等级：2；知识点：曲面的切平面. 分析( , , )0F x y z =在点000(,)xy z处的切平面的法向量为(,)xyznF F F=r， 直线215 213xyz+=与 切 平 面 垂 直 ， 则(,)xyznF F F=r与 直 线 的 方 向 向 量(2,1, 3)a =r平行，对应坐标成比例. 解曲面在点000(,)xy z处的法向量000(,)nxyz=r平行于向量(2,1, 3)，所以000 213xyz=令000 213xyzt=，得到0002 ,3xt yt zt= =代入22260xyz+=得，1t = ±，所求的点为(2, 1,3)和( 2,1, 3)，切平面为 2(2)(1)3(3)0xyz+=，即2360xyz+= 和2(2)(1)3(3)0xyz+=，即2360xyz+=16. 已知向量(3,2,1)a =r，(4, 1,3)b =r .求以abrr、为边的平行四边形的面积与对角线的长. 难度等级：2；知识点：向量代数. 分析平行四边形的面积Sab=×rr，对角线的长,abab+rrrr. 解321(7, 5, 11)413ijkab×=rrrrr平行四边形的面积2227( 5)( 11)195Sa b=×=+ + =rr. 对角线的长22271466ab+=+=rr； 222( 1)3( 2)14ab=+ =rr四、解答题四、解答题( (每小题每小题 6 6 分分, ,共共 1212 分分) ) 17.计算半径为,R中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量. I(设密度) 1=µ 难度等级：2；知识点：第一类曲线的应用 分析分析:写出曲线弧的参数方程化为定积分计算. 解解:取如图所示的坐标系,题目所求即是求L对x轴的转动惯量,亦即 2,LIy ds= 其中L的参数方程为cos ,sin ,.xRyR=所以 222223sin(sin )(cos )(sincos).LIy dsRRRdR=+=18.设P为椭球面222:1S xyzyz+=上的动点.若椭球面S在点P处的切平面与xoy面垂直,求点P的轨迹,C并计算曲面积分 22(3)2, 44xyzIdS yzyz+= +其中是椭球面S位于曲线C上方的部分 难度等级难度等级: :3;知识点知识点:两类曲面积分的转换,求曲面方程 分析分析:按照题意,利用垂直的条件,先求曲线C的方程.后将曲面积分投影到xoy面计算. 解解:222:1S xyzyz+= 椭球面S上点( , , )P x y z处的法向量是2 ,2,2.nxyzzy=r点P处的切平面与xoy面垂直的充要条件是020.n kzy=rr点P的轨迹的方程为22220.1zyxyzyz= +=2220 .314zyxy=+=取223( , )1 ,4Dx y xy=+记的方程为( , ),( , ).zz x yx yD= 2222 22442211.222xyyzyzxyzzzyzyzyz+=+=22(3)244xyzIdS yzyz+= +2222(3)21 44xy Dxyzzz dxdy yzyz+=+ +(3)3DDDxdxdyxdxdydxdy=+=+03Ddxdy=+(对称性) 2 .= 五、证明题五、证明题(2*7=14(2*7=14 分分) ) 19.设21( ),1f xxx=( )1(0).!n nafn=证明级数102nnnna a a +=+收敛,并求其和. 难度等级难度等级: 3 知识点:无穷级数收敛域,和函数 解解:2 2 001( )(1)1.1nn nn nnf xa xxxa xxx=比较系数:01211,0,1,2,.nnnaaaaan+=+=L 102nnnna a a +=+的部分和数列 31202132411n n nnaaaasa aa aa aaa+=+L 203111420213241101111112.nnnnnnaaaaaaaa a aa aa aaaaaaa+=+=+L故原级数收敛且1022.nnnna a a +=+=20. 设( )f t是半径为t的圆周长, 试证: 22222222 011( ).22xytaxyaedxdyf t edt+=难度等级:2;知识点:二重积分计算 分析分析:从被积函数及积分区域,适用极坐标计算证明 证明证明: 左2222221 2xyxyaedxdy+=2 22 001 2aded =ade 022 221=adef 022 )(21=右. 六、应用题六、应用题 (2*7=14(2*7=14 分分) ) 21.一均匀物体(密度为常量)占有的闭区域由曲面22zxy=+和平面0,zxa ya=所围成,求物体的体积. 难度等级:2;知识点:二重积分的应用. 分析分析:由积分区域具有对称性,利用直角坐标计算即可 解解:由对称可知 +=ayxadzdydxV00022 4 22003 2044()4()3 8.3aaadxxydyaaxdxa=+=+=. 22. 设有一高度为( )th(t为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程 ( )() ( )222.xyzh th t+= (设长度单位为,cm时间单位为h),已知体积减少的速率与侧面积成正比例(比例系数9 . 0),问高度为()130 cm的雪堆全部融化需多少时间？ 难度等级难度等级:3;知识点:三重积分计算,重积分应用,相关变化率 分析分析:先求出关于时间的体积函数,关于时间侧面积函数,利用体积变化速度与侧面积变化关系解出高度关于时间函数,最后给出结果. 解解:STEP1.记V为雪堆体积,S为雪堆的侧面积,则1D:( )( )2221.2xyhth t z+( )=10 DthdxdydzV( )( )( )( )2301.24h thth tz dzht=(先二后一) () ( )dxdythyxSD+=2222161 (2D:( ) 22 22thyx+) (空间曲面面积计算公式) ( )( ) ( )122222 00116h t dhtrrdrh t=+(极坐标) ( )213.12