紧致差分格式的构造和验证

摘 要目前，紧致差分格式已逐渐成为差分方程的数值方法的主要方向。具有良好特性的高精度的紧差分格式相继构造出来并能够应用到一些特殊的问题的数值求解，显现出了良好的效果。本课题针对紧致差分格式这一研究方向，希望能够通过MATLAB等软件的辅助以及前人对紧致差分格式的研究帮助对紧致差分格式进行构造一种差分格式，并且通过解微分方程的数值解实验对紧致差分格式进行验证其稳定性、收敛性以及误差等特性，最终能够比较直观了解这类紧致格式差分方法的精度等。关键词:有限差分；差分格式；构造第2页ABSTRACTAt present, compact difference schemes have gradually become a main research direction of the numerical method of differential equations, and the compact difference schemes with high precision and good characteristics have been constructed one after another and applied to the numerical solution of some specific problems, and good results have been achieved. This topic for compact difference scheme, the research direction of hope can through MATLAB software such as aided and previous study of compact difference scheme to help to construct a compact difference scheme difference scheme, and by solving the differential equation numerical solution of experiments to verify its compact difference scheme features such as stability, convergence and error, finally can more intuitive understanding of the compact format the precision of the finite difference method, etc.Key words：Finite difference; Difference scheme; Structure目录摘 要2ABSTRACT31引言51.1 有限差分方法简介51.2紧致差分法研究概况51.2.1 抛物线方程51.2.2椭圆型方程61.2.3双曲线方程61.3 本文研究内容62常见差分格式72.1显式差分格式72.1.1古典显式格式的推导72.2 隐式差分格式82.2.1古典隐式格式的推导82.3Crank-Nicolson隐式格式102.4 交替方向隐式格式112.4.1 Peaceman-Rachford格式122.4.2 Douglas-Rachford格式122.4.3 Mitchell-Fairweather格式122.4.4 交替方向隐式格式算法步骤123紧致差分格式分析133.1 抛物线方程133.1.1 抛物线方程的一种高精度紧致差分方法133.2 椭圆型方程133.2.1一维椭圆型方程的解法133.2.2二维椭圆型方程的解法143.3双曲型方程153.3.1双曲线方程一种解法153.3.2双曲线方程的常见数值解法164实例分析与结果分析174.1 数值算例174.1.1 已知有精确解的热传导问题174.1.2 未知精确解的热传导问题184.2 结果分析184.3 r变化对稳定性的探究194.3.1 P-R格式格式的稳定性194.4本文研究的热传导方程205 总结25参考文献261引言1.1 有限差分方法简介重要的数值离散方法其中有有限差分方法（FDM），在研究、计算中有着广泛运用。有限差分法具有计算少、格式小、程序少等很多长处，尤其适合于偏微分方程的近似求解。有限差分法基本问题有：构造逼近微分方程定解问题的差分格式；研究差分解的存在唯一性、收敛性及稳定性；差分方程的解法等。创造出差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒方法。总的来说，一阶向前差分、一阶向后差分、二阶中心差分等都是比较常见的差分公式。这些年，有限差分方法有了很大的发展。在研究传统差分格式的基础上，学者们开始关注高精度的有限差分格式及其应用。高精度格式的采用放松了对网格步长的要求，采用计算区域内较少的格点得到较高精度的数值解，改进了求解效率，具有十分重要的理论和现实意义微分方程的数值作为求解方程的主要的近似解法，可以给出解在一些离散点上的近似值。现在求解微分方程的数值解法主要有两类，一类是有限差分方法，一类是有限元法。两者的基本思想基本上都是把连续问题（即微分方程的初边值问题）离散化，化为有限形式的线性代数方程组，求出原问题的离散解，再应用数值逼近的方法求出原问题的逼近解（连续解）。我们求得一般步骤是：开始，对求解区域进行网格剖分，用有限个网格节点代替连续区域；然后，将微分方程离散化，从而把微分方程的定解问题化为线性代数方程组的求解问题。紧随之后微分方程数值解法研究的益深入，其在数值分析中也发挥着越来越重要的作用。因此，进行数值解法方面的研究，有着十分重要的理论和现实意义。1.2紧致差分法研究概况伴随计算物理的发展，为了能更加方便研究与剖析差分问题，人们对于数值结果的精度要求越来越高，而普通的有限差分格式在很大步长下的精度偏低，为了提高精度不得不缩小步长，增加更多的网格点数量，这肯定增加了计算机的计算量，使得计算速度变慢，计算时间拉长。为了克服这一计算难题，人们开始寻找计算少精度高的差分方法。紧致差分方法正是在这种情形下应运而生。在1991年，lelei总结好了对称型紧致差分格式。相比于传统的差分格式，在相同的计算网格中，紧致差分格式有着更高的精度和分辨率。1993年傅德薰在紧致差分格式中引入迎风机制，1997年提出了五格点五阶精度的迎风紧致格式。紧致差分格式中迎风机制的引入能够有效抑制非物理振荡，更适合于多尺度复杂流场的计算。以上的对称型紧致差分格式和迎风型紧致差分格式是建立在均匀网格的基础上的。1.2.1 抛物线方程偏微分方程可用于描述出现在工程问题中的许多数学模型。抛物线问题作为偏微分方程中的一种频繁处理，在诸如扩散，渗流和热传导等问题中具有大量应用。因此，在很多情况下，偏微分方程找不到精确解，只能通过求解其数值解来研究问题。因此，找到高精度，小计算，稳定性好的数值计算方法具有重要意义。对于抛物问题，有限差分法经常用于解决数值问题。有限差分方法的基本思想是将连续解区域分离为有限点网格，然后使用网格上定义的离散变量差。该方程近似于连续解区域上的连续变量微分方程。最后，原始微分方程可以转换为代数方程组。求解方程可以得到离散点处原始微分方程的数值解。在众多差分方法中，紧凑差分格式使用较少的网格基点，但计算格式精度很高。因此，与传统的髙精度格式相比，紧凑的差分格式具有许多优点，例如计算量。小，对单元敏感，易于处理边界条件等。.因此，紧凑差分格式的研究是高精度格式研究的主要方向之一。目前，关于抛物问题的高精度紧致差分方法的研究就显而易见，由于稳定条件的过度限制，显式紧致差分方法难以被广泛使用。虽然隐式紧致差分方法具有更好的稳定性，但在求解方程时计算量大，计算效率低。 1.2.2椭圆型方程针对一般椭圆型方程的数值求解，目前已有大量的相关文献，例如六阶精度差分格式用到了五个点，而十阶精度差分格式用到了七个点等等，并且推导出了高阶导数的紧致差分格式，同时分析了这些格式能够正确数值模拟的波数范围；马延文和傅德薰两位学者构造了迎风紧致差分格式这样做的目的是为了克服数值解在激波附近的非物理高频振荡的难题，为了进一步提高精度，但不增加网格节点，他们推导出了超紧致差分格式沈孟育和蒋莉推导出了仅含有三个点的三阶精度紧致差分格式，但不足在于格式的系数推导求解过于复杂；沈孟育等学者还将以上紧致差分格式做了进一步的改善，继而得到了广义紧致差分格式，上述所提到的不论是对称型紧致差分格式、或者迎风紧致差分格式还是超紧致差分格式都是它的特例；田振夫和刘明会分别提出了一种求解两点边值问题的四阶紧致差分格式；金涛等人提出了一种求解两点边值问题的的高阶隐式格式；对于二维椭圆型方程，田振夫利用待定系数法和截断误差余项修正方法构造了数值求解二维泊松方程的四阶和六阶紧致差分格式；陈国谦等人提出的求解对流扩散方程的四阶指数型格式，指数型摄动格式及迎风变换方法。1.2.3双曲线方程在偏微分方程中线性双曲型方程里，对于物理和生物领域的一些非线性现象，均可用此类方程来描述。例如，对流、扩散和反应、扩散之间的相互作用等。由于很难找到问题本身的精确解决方案，它是具有深远的意义，并通过数值方法来解决这样的方程实际应用价值。近年来，许多学者在国内外已经提出了求解一般线性双曲型方程的数值解的方法。莫汉蒂提出了无条件稳定的一维，二维和三维有限差分方法用于求解线性方程。刘等人提出了在狄利克雷和诺依曼边界条件下，求解一维电报方程的无条件稳定的两层紧致差分格式。空间上采用四次样条方法，时间上应用广义梯形公式。丁等人为了求解一维和二维电报方程，提出了一种条件稳定的高精度紧致差分格式。1.3 本文研究内容根据前人构造的格式，现在本文针对热传导方程建立了传统的差分格式p-r格式，做出数值实验；基于理查德松外推法构造一种数值求解二维热传导方程的高阶紧致差分方法在此基础上建立了一种紧差分格式。该方法首先利用时间二阶、空间四阶精度的紧致交替方向隐式差分格式在不同网格上对原方程进行求解，然后利用外推一次，最终得到了二维热传导方程时间四阶、空间六阶精度的数值解，数值实验验证了该方法的高阶精度及有效性。2常见差分格式2.1显式差分格式现在，对于二维抛物线方程构建有限差分的显式格式（2-1）二维热传导方程（2-2）在热传导，磁扩散等许多领域有重要的应用。实际导热问题必然涉及边值条件，在有限差分法中它们也必须差分化。因此，我们需要研究的不仅是差分方程本身，而且是包括全部内部区域和所有边界上的差分方程所组成的代数方程组。又称为差分格式。常系数热传导方程的古典显式格式首先考虑热传导方程的边值问题离散化152.1.1古典显式格式的推导最简单的显式差分为经典的显式格式，现在由热传导方程导出了故式中右边如果仅保留二阶导数项，且以替代，替代，则得差分格式或者（2-3）这是一个显式格式（四点格式），如图（2-1）所示。图2-1：古典显式格式格式（2-3）应用在一维热传导相关方面中，则有古典显式格式：（2-3）通过一个方程组求解得到每一层各个节点上的值，显一隐格式区域分解方法就是以显式计算出比邻子域交界内的近似值的一种方法。显一隐格式区域分解方法综合了二者的优点，借助前一层数值解的信息，用显格式给出在这层的子问题的我们所不知道德内边界条件，把一个整体区域上的问题化为很多个子区域上