高三数学数列求和的基本方法和技巧

数学数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：； 2、等比数列求和公式：；3、；4、；5、【例1】已知，求的前n项和.解由由等比数列求和公式得 1（利用常用公式）【例2】设Sn123n，nN，求的最大值.解由等差数列求和公式得 ， 当 ，即n8时，二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an·bn的前n项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列.【例3】求和：解由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积设 （设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得： 【例4】求数列前n项的和.解由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设 得 三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.【例5】求证：【证明】设把式右边倒转过来得（反序）又由可得 得 （反序相加） 【例6】求的值解设 将式右边反序得.又因为 得89 S44.5四、分部求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.【例7】求数列的前n项和：，解设，将其每一项拆开再重新组合得 当a1时， 当时，.【例8】求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解设 ，将其每一项拆开再重新组合得Sn 五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）； （2）（3） （4）（5）(6) 【例9】求数列的前n项和.解设则 【例10】在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解 数列bn的前n项和【例11】求证：解设 S 原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.【例12】求cos1°cos2°cos3°cos178°cos179°的值.解设Scos1°cos2°cos3°cos178°cos179° S(cos1°cos179°)+(cos2°cos178°)(cos89°cos91°)cos90°0【例13】数列an：，求S2002.解设S2002由可得 S20025.【例14】已知an是正项等比数列中，若的值.解设由等比数列的性质 和对数的运算性质 得 10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.【例15】求之和.解由于 【例16】已知数列an：的值.解