导数与不等式专题

导数与不等式专题（1）1、证明不等式：，2、已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若对任意的均有成立，求实数的取值范围。3、已知函数，（1）当时，判断在定义域上的单调性；（2）若在上的最小值为，求的值；（3）若在上恒成立，求的取值范围。4、已知函数。（1）讨论函数的单调性； （2）证明：若，则对任意，有。5、已知函数，.(1)若，求的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围。导数与不等式专题（2）1(06年全国2)设函数，若对所有的，都有成立，求实数a的取值范围2.（07年全国1）设函数（）证明：的导数；（）若对所有都有，求的取值范围3. (10年全国宁夏）设函数。（1） 若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围4.（08全国二）设函数（）求的单调区间；（）如果对任何，都有，求的取值范围5（11年全国宁夏）已知函数，曲线在点处的切线方程为（I）求a，b的值；（II）如果当x>0，且时，求k的取值范围导数与不等式专题（2）19（2006年全国卷II）设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围19解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax，对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 5分(i)当a1时，对所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函数，又g(0)0，所以对x0，都有g(x)g(0)，即当a1时，对于所有x0，都有f(x)ax 9分(ii)当a1时，对于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是减函数，又g(0)0，所以对0xea11，都有g(x)g(0)，即当a1时，不是对所有的x0，都有f(x)ax成立综上，a的取值范围是（，1 12分解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax，于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立3分对函数g(x)求导数：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 6分当x ea11时，g(x)0，g(x)为增函数，当1xea11，g(x)0，g(x)为减函数， 9分所以要对所有x0都有g(x)g(0)充要条件为ea110由此得a1，即a的取值范围是（，1 12分（07全国卷一理）设函数（）证明：的导数；（）若对所有都有，求的取值范围解：（）的导数由于，故（当且仅当时，等号成立）（）令，则，（）若，当时，故在上为增函数，所以，时，即（）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数所以，时，即，与题设相矛盾综上，满足条件的的取值范围是2.（全国二22）（本小题满分12分）设函数（）求的单调区间；（）如果对任何，都有，求的取值范围解：（）2分当（）时，即；当（）时，即因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数6分（）令，则故当时，又，所以当时，即9分当时，令，则故当时，因此在上单调增加故当时，即于是，当时，当时，有因此，的取值范围是12分11. (2010年全国高考宁夏卷21）（本小题满分12分）设函数。（2） 若，求的单调区间；（3） 若当时，求的取值范围（21）解：（1）时，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II） 由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为.21（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为（I）求a，b的值；（II）如果当x>0，且时，求k的取值范围（21）解：（）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。（）由（）知，所以。考虑函数，则。(i)设，由知，当时，。而，故当时，可得；当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0从而当x>0，且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）设0<k<1.由于当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0，故 (x）>0，而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0，与题设矛盾。（iii）设k1.此时（x）>0，而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0，与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0解：（2）由（1）知故要证： 只需证为去分母，故分x>1与0<x<1两种情况讨论：当x>1时，需证即 即需证 （1）设，则由x>1得，所以在（1，+）上为减函数又因g（1）=0所以 当x>1时 g（x）<0 即（1）式成立同理0<x<1时，需证 （2）而由0<x<1得，所以在（0，1）上为增函数又因g（1）=0所以 当0<x<1时 g（x）<0 即（2）式成立综上所证，知要证不等式成立点评：抓住基本思路，去分母化简问题，不可死算