近代概率论题库(计算证明题部分)
近代概率论基础题库（计算证明题部分）近代概率论基础题库（计算证明题部分）一、某人写好封信，又写好个信封，然后在黑暗中随机地把封信放入个信封中nnnn （一个信封中只能放一封信） ，试求至少有一封信放对的概率。 （10 分）一、解：若以记第封信与信封符合，则所求的事件为：iAi。12nAAA不难求得： ，(1)!1()!inP Ann，(2)!1()!(1)ijnP A Ann n，(3)!1()!(1)(2)ijknP A A Ann nn121()!nP A AAn故 12()nP AAA11111( 1)123(1)(1)(2)!nnnnnn nn nnn 11111( 1)2!3!n n 二、从数字中（可重复地）任取次，试求所取的个数的乘积能被 10 整除的概率。1,2,9nn（10 分）二、解：个数的乘积要能被 10 整除，则n这个数中至少有一个是偶数，也至少有一个为 5。n因取数是放回抽样，显然样本空间中有基本事件个。9n设=所取的个数的乘积能被 10 整除，An=所取的个数中至少有一个是偶数， Bn=所取的个数中至少有一个为 5，Cn则为所取的个数全为奇数，故所含基本事件数为；BnB5n为所取的个数无 5，故所含基本事件数为；CnC8n为所取的个数全为奇数且不含 5，故所含基本事件数为，BCnBC4n且,ABCABC所以由计算公式得：( )1( )1()1 ( )( )()P AP AP BCP BP CP BC 5845841 ()1.999999nnnnnnnnnnnn 三、一质点从平面上某点出发，等可能的向上、下、左及右方向移动，每次移动的距离为 1，求经过次移动后回到出发点的概率。 （10 分）2n三、解：若要在次移动后回到原来的出发点，则向左移动的次数与向右移动的次数应该相2n等，向上移动的次数与向下移动的次数也应该相等，而总移动次数为。2n故所求的概率为：2 22(2 )!1( )( !) ( !)4nk m nnPkm2 22 0(2 )!1( )( !) ()!4n nkn knk22 2 01(2 )!( )4( !)!()!n nknn nk nk22021( )4n nknnnk 2221( ).4nnn四、假定一块放射性物质在单位时间内发射出的粒子数服从参数为的泊松分布。而每个放射出的粒子被记录下来的概率均为。如果各粒子是否被记录相互独立，试求记录p下的粒子数的分布。 （10 分）四、解：以事件为分割用全概率公式得：对任意得非负整数有：,0,1,2,nnk0 |nPkPn Pkn( ; ) ( ; , )n kp nb k n p!n kn kn knep qkn 1()()!()!n k kn kqpeknk 1()!kppek五、证明：在独立重复的伯努利实验序列中，如果实验重复的次数服从参数为泊松分布，求成功次数和失败次数的概率分布，并证明与相互独立。 （10 分）五、解：以事件为分割用全概率公式得：对任意得非负整数有：,0,1,2,nnk0 |nPkPn Pkn( ; ) ( ; , )n kp nb k n p!n kn kn knep qkn 1()()!()!n k kn kqpeknk 1()!kppek同理 Pk1()!kppek进一步地，,Pmn ,|Pmn Pmnmn()!m n mnmnep qnmn !mmnn pqpqeemn.PmPn六、若是相互独立的随机变量，具有相同的分布函数，而及相当于把1,n( )F x* n* 1按大小顺序重新排列为的末项和首项，求及的分布函1,n* 12n* n* 1数，并求的联合分布函数。 （10 分）* 1(,)n六、解：首先求的分布函数：* n* 1max( ,)nnPxPx1,nPxx1nPxPx( ).nF x再求的分布函数：* 1因为* 11min( ,)nPxPx1,nPxx1nPxPx1( ).nF x所以*11( ).n nPxF x 最后求的联合分布函数：记 * 1(,)n* 1( , ),.nG x yPxy若，则xy* 1( , ),nG x yPxy*( ).n nPyF x若，则xy* 1( , ),nG x yPxy* 1,nnPyP xyxy* 1,nnPyPxy( )( )( ).nnF yF yF x七、设与相互独立，且均服从上的均匀分布，证明：1U2U0,11122lncos2VUU与相互独立且均服从标准正态分布。 （10 分）2122lnsin2VUU七、证明：因为1122122lncos22lnsin2yxxyxx则因此 22 1212122lntg2yyxyyx 22 12 2 12 2 11arctg2yy xe yxy 故雅可比行列式为：11122212xx yyJxx yy 22 12 21.2yy e因为与相互独立，故的密度函数为：1U2U12(,)U U12112212( ,)( )()1,0,1.p x xp x p xx x因为的密度函数为：12( ,)V V2222 1212 222 12111(,)1.222yyyy q y yeee 因而，与的边际密度函数分别为：1V2V2 1 2 111221()(,).2y q yq y y dye2 2 2 221211()(,).2y qyq y y dye并且，因而与相互独立且均服从标准正态分布。121122(,)()().q y yq y qy1V2V八、 （10 分）已知随机向量服从多项分布，即12( ,)r 12 112212 12!,!rkkk rrr rnPkkkp ppk kk这里且仅当时上式才成立，否则为 0.0ik 12rkkkn求随机向量的各个分量之间的协方差和相关系数。八、解：显然12( ,)r ，因此( ,),1,2,iiB n pir,(1)iiiiiEnp Dnpp注意到因此( ,),ijijB n pp()(),()()(1)ijijijijijEn ppDn pppp由于()2cov( ,)ijijijDDD (1)(1)2cov( ,)iijjijnppnpp 因而有cov( ,)ijijnp p 相关系数为：。cov( ,)(1)(1)(1)(1)ijij ijij ijijijp pp prppp ppp 九、袋中有张卡片，各记以数字，不放回地从中抽出张，求其和的数学期望N12,NY YYn和方差。 （10 分）九、解：取一张时，其数字的均值及方差分别为 及 11Ni iYYN2211()Ni iYYN若以记张卡片的数字之和，以记第 次抽得的卡片上的数字，则nn,1,2,iini12nn由于抽签与顺序无关，因此 1,1,2,1,2,ilPYlN inN故 2,.iiEYD所以 12nnEEEEnY在上式中令2112cov( ,)(1)cov( ,)nniijij iij nDDnn n ，因为是一个常数，因此，于是nN1NNYY0ND2 12(1)cov( ,)0NN N 因而212cov( ,)1N 于是。22 2(1)() 11nn nn NnDnNN十、掷 5 颗骰子，求所得总和为 15 的概率。 （提示：利用母函数） （10 分）十 1、解：以表示第 颗骰子掷出的点数，则总和为：ii1.n因服从 1 到 6 上的等可能分布，故其母函数均为i234561( )().6P sssssss又因为相互独立，故其和的母函数为： 。i5 ( )P s于是，所求的概率恰为的幂级数展开式中前面的系数。5 ( )P s15s由于556 155 55 551 ( )(1)()661sssP ssss 5 61230 5(1 510)6ssss05()kksk5 6 5(1 5)6ss04kkksk因此。551481651151510466P 十 2、 （10 分）掷 5 颗骰子，求所得总和为 16 的概率。 （提示：利用母函数）解：以表示第 颗骰子掷出的点数，则总和为：ii。 。 。 。 。2 分15.因服从 1 到 6 上的等可能分布，故其母函数均为i。 。 。 。 。1 分234561( )().6P sssssss又因为相互独立，故其和的母函数为： 。 。 。 。 。 。2 分i5 ( )P s于是，所求的概率恰为的幂级数展开式中前面的系数。 。 。 。 。1 分5 ( )P s16s由于556 155 55 551 ( )(1)()661sssP ssss 。 。 。 。 。2 分5 61230 5(1 510)6ssss05()kksk。 。 。 。 。1 分5 6 5(1 5)6ss04kkksk因此 。 。 。 。 。 。1 分515911615.1156P 十一、求正态分布的特征函数。2( ,)N a十一、解：先讨论的场合：(0,1)N222211( )cos22xx itxf te edxtx edx由于正态分布的一阶矩存在，可对上式求导，得222211( )()sinsind22xx f txtx edxtxe222211sincosd( )22xx tx ettx ext f t 因此2 ln( )2tf tc 由于，故，因此(0)1f0c 22( ).t f te对于的场合，因为，故由特征函数的性质可知其特征函数为：2( ,)N aaa2 21
