湖北省2013届高三期末调研考试理科数学(更正版)

湖北省2013届高三期末调研考试数学(理)试题本试题卷共4页，共22题。满分150分，考试用时120分钟。注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。 3.非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卡上的每题所对应的答题区域内。答在试题卷上或答题卡指定区域外无效。 4.考试结束，监考人员将答题卡收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数 ( + i ) 3(i 为虚数单位)的值是(A) 1(B) 1(C)i(D) i 2.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是(A) 所有奇数的立方都不是奇数(B) 不存在一个奇数，它的立方是偶数(C) 存在一个奇数，它的立方是偶数(D) 不存在一个奇数，它的立方是奇数3.某天清晨，小明同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面大致能反映出小明这一天(0时 24时)体温的变化情况的图是4.已知数列 an 是等差数列，a1 + a3 + a5 = 105，a2 + a4 + a6 = 99，an 的前 n 项和为 Sn，则使得 Sn 达到最大的 n 是(A) 18(B) 19(C) 20(D) 215.某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是(A) cm 3(B) cm3(C) cm3(D) cm36.已知a > b，二次三项式ax2 + 2x + b0对于一切实数x恒成立.又 $ xoR，使 axo2 + 2xo + b = 0成立，则 的最小值为(A) 1(B) (C) 2(D) 27.过抛物线y2 = 4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则 | AF |·| BF | 的最小值是(A) 2(B) (C) 4(D) 28.已知变量 x，y 满足约束条件 ，则 z = 3 | x | + y 的取值范围为(A) 1,5(B) 1,11(C) 5,11(D) 7,11 9.函数 f (x) = (1 + x + + + ) cos 2x 在区间 3,3 上的零点的个数为(A) 3(B) 4(C) 5(D) 610.O是锐角三角形ABC的外心，由O向边BC，CA，AB引垂线，垂足分别是D，E，F，给出下列命题： + + = 0 + + = 0 | : | : | = cos A : cos B : cos C $ lR，使得 = l (+ )以上命题正确的个数是(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11.已知sin a3cos a = 0，则 = 。12.执行如图所示的程序框图，输出的S的值为 .13.已知 a = 4 dx，则二项式 (x 2 + )5 的展开式中 x 的系数为 .14.已知直线 l平面 a，直线 m Ì 平面 b，有下列命题： ab Þ lm ab Þ lm lm Þ ab lm Þ ab其中正确命题的序号是 。15.给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是l，2，3，2013，从第二行起每一个数都等于它“肩上”两个数之和，最后一行只有一个数M，则这个数M是 。三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知函数f (x) = cos( 2x + ) + sin 2 x.()求函数f (x)的最小正周期和值域；()在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，满足 2 · = ab，c = 2，f (A) = ，求ABC 的面积 S17.(本小题满分12分)某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168，16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 160，164，第二组164，168，第6组180，184，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.()试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；()求这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数；()在这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为 x，求 x 的数学期望.参考数据：若 xN(m,s 2).则p(ms < xm + s) = 0.6826，p(m2s < xm + 2s) = 0.9544, p(m3s < xm + 3s) = 0.9974.18.(本小题满分12分)已知数列 an 的前 n 项和为Sn，且Sn = 2an1，数列 bn 满足 bn1bn = bn bn1（n2，nN*），b1 = 1()求数列 an，bn 的通项公式；()求数列 的前 n 项和 T.19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱 SA底面ABCD，AB 垂直于 AD 和 BC，SA = AB = BC = 2，AD = 1，M 是棱 SB 的中点.()求证：AM平面SCD()求平面 SCD 与平面 SAB 所成锐二面角的余弦值；()设点 N 是直线 CD 上的动点，MN 与平面 SAB 所成的角为 q，求sin q 的最大值. 20.(本题满分13分)设点 P 是圆 x2 + y2 = 4 上任意一点，由点 P 向 x 轴作垂线 PP0，垂足为 P0，且 = ()求点 M 的轨迹 C 的方程；()设直线 l：y = kx + m(m0)与()中的轨迹 C 交于不同的两点 A，B.(1)若直线 OA，AB，OB 的斜率成等比数列，求实数 m 的取值范围；(2)若以 AB 为直径的圆过曲线 C 与 x 轴正半轴的交点 Q，求证：直线 l 过定点(Q点除外)，并求出该定点的坐标.21.(本题满分14分)已知函数 f (x) = lnx + 1()求函数 f (x) 的单调区间；()设 mR，对任意的 a(l,1)，总存在 x01,e，使得不等式maf (x0) < 0成立，求实数 m 的取值范围；()证明：ln2 l + ln2 2, + + ln2 n > (n2，nN*).参考答案一、选择题： 1.A 2.C 3.C 4.C 5.D 6.D 7.C 8.B 9.C 10.B二、填空题：11. 12. 13. 80 14.与 15. 1007×22012三、解答题： 16.(本小题满分12分)解：()因为 f (x) = cos (2x + ) + sin 2 x = cos 2x cos sin 2x sin + = sin 2x.最小正周期 T = p，值域为 , + . (6分)() 2·= ab， 2ba cos (pC) = ab，cos C = .C = 又， f (A) = ， sin 2A = ， sin 2A = 而 0 < A < Þ A = ，B = .由正弦定理，有 = = ，即 = = a = ，b = 2S = absin C = ×()×2× = 1 (12分)17.(本小题满分12分)解：()由直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为 (162×+ 166×+ 170×+ 174×+ 178×+ 182×)×4 = 168.72高于全市的平均值168(或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72，比较接近全市的平均值168). (4分)()由频率分布直方图知，后三组频率为(0.02 + 0.02 + 0.01)×4 = 0.2，人数为0.2×5 = 10，即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10人. (6分)() P(1683×4 < x168 + 3×4) = 0.997 4， P(x180) = = 0.0013，0.0013×100 000 = 130.所以，全市前130名的身高在180 cm以上，这50人中180 cm以上的有2人. 随机变量 x 可取 0,1,2，于是 P(x = 0) = = , P(x = 1) = = , P(x = 2) = = Ex = 0× + 1× + 2× = . (12分)18.(本小题满分12分)解：()由 Sn = 2an1，得 S1 = 2a11，所以 a1 = 1.又 Sn = 2an1， Sn1 = 2an11，n2，两式相减，得 SnSn1 = 2an2an1 Þ an = 2an2an1 Þ an = 2an1，n2数列 an 是首项为 1，公比为 2 的等比数列.an = 1×2 n1 = 2 n1 (4分)由 bn1bn = bn bn1，得 = 1又 b1 = 1，所以数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列.= 1 + (n1)×1 = nbn = (8分)() Tn = 1·2 0 + 2·2 1 + + n·2 n1，2Tn = 1·2 1 + 2·2 2 + + n·2 n.两式相减，得 Tn = 1 + 2 1 + + 2 n1n·2 n = n·2 n = 1 + 2 nn·2 n.Tn = (n1)·2 n + 1. (12分)19.(本小题满分12分)解：()以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，S(0,0,2)，M(0,1,1).