对数平均数的不等式链的几何解释及应用

对数平均数的不等式链的几何解释及应用中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是：设则，其中被称之为对数平均数.童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入地探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解.1 对数平均数的不等关系的几何解释反比例函数的图象，如图所示，轴， ,作在点处的切线分别与交于，根据左图可知，因为，所以 又，根据右图可知， ，所以， 另外，可得： 综上，结合重要不等式可知：，即. 2 不等式链的应用对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的2.1 的应用例1 （2014年陕西）设函数，其中是的导函数（1）（2）（略）（3）设，比较与的大小，并加以证明解析 （3）因为，所以，而，因此，比较与的大小，即只需比较与的大小即可根据时， ，即令则所以，将以上各不等式左右两边相加得：，故.评注 本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握当时，即令则可得：.例2 （2012年天津）已知函数的最小值为0（1）（2）（略）（3）证明：解析 （3）易求，待证不等式等价于根据时， ，即令则 将以上各不等式左右两边分别相加得：，.得证.2.2 的应用例3 设数列的通项，其前项的和为，证明：解析 根据时，即，令则，易证2.3 的应用例4 设数列的通项，证明：解析 根据时，即，令则，易证2.4 的应用例5 （2010年湖北）已知函数的图象在点处的切线方程为（1）用表示出；（2）（略）（3）证明：解析 （1）；（3）当时，即， 令则所以，将以上各不等式左右两边分别相加得：即故例6 （2013年新课标）已知函数（1）若时, 求的最小值；（2）设数列的通项，证明：解析 （1）易得令则若，则当时，是增函数，不符合题意；若，则当时，是增函数，不符合题意；若，则当时，是减函数，符合题意；综上，的最小值是（2) 当时，即，令则所以将以上各不等式左右两边分别相加得：即故评注 本题提供标准答案是借助于第一问的的最小值时，加以赋值，并进行变形，令，有，亦即达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.2.5 的应用例7 （2014福建预赛）已知（1）（略）（2）求证：对一切正整数均成立 解析 （2）根据时， ，即令则变形可得：则将以上各不等式左右两边相加得：对一切正整数均成立评注 本题提供标准答案是借助于第一问的的最小值时，,即，结合待证不等式的特征，令，得，整理得：，即,借此作为放缩的途径达到证明的目的你能注意到两种方法的区别吗？对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘，水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法方是提升数学素养的途径.