高考数学（理）四　解析几何

专 题 四 解 析几何小题增分专项1直线与圆命I题分I析&全国卷3年高考命题规律年份全 国I卷全 国I I卷全国I I I卷2 02 0直线与圆的位置关系T”圆的方程“5直线与圆相切工。2 01 9未考查未考查未考查2 01 8未考查未考查直线方程、圆的方程、点到直线的距离1 .圆的方程近两年为高考全国卷命题的热点，需重点关注。此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式呈现。2.直线与圆的方程偶尔单独命题,单独命题时有一定的深度,对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上。明确考点 扣准要点。字，弋，次公,一、直线方程的相关概念1 .直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角为a,范围：0。或夕 2)(%1工%2),2 .直线方程的形式(1)点斜式：y y Qk-(xX o)0(2)斜截式：y=k x+bo(3)两点式:)，一 丁1%-九1”一%2一(4)截距式：宗+1=1。(5)一般式：AX+C=0(A2+BV 0)O3.两条直线的位置关系%=%（）+/c o s a,(6)参数式一1 。为参数)。)=州 十/s i n。4.品 巨 离X斜截式一般式方程y=kx+b,y=%2%+b?AX C*i=0?人2%+3 2、+。2 =0相交h W左2Aji52一4 囱 W0垂直鬲%2 =-1A1A2+3避2=0平行鬲=左2且仇#岳AB2一 人23 =0,、A 1 5 2 A28=0,彳 或 彳3 c2 4GW 0 一 A C A2C1WO重合k=k?且。1=。2A 1 5 2 2 5 1 =&Q-3 2G=AiG A2。1=0二、圆的方程及相关概念1.圆的方程(1)圆的标准方程与一般方程。距离类型公式点Po(%o9 加)到直线/：Ax+ByC=0 的距图|Ao+Bjo+C|两条平行直线A r+3y+G =0 与Ar+jBy+C2=0间的距离,IG-C名称圆的标准方程圆的一般方程方程(xa)2+(y Z?)2=/(r 0)?+/+Dx+j+F=0(r 2+E2-4/0)圆心(a,b)(D2 f 2Q)半径rK/Z)2+E2-4 F(2)A(%i，.),B(X2,)，以A3为直径的圆的方程为(%即)(%_%2)+&-丁1)(丁一)=0。2 .直线与圆的位置关系(1)设圆的半径为广，圆心到直线的距离为d,则当d r时，直线与圆相离。(2)弦心距公式：直线截圆所得的弦长为2 a,圆的半径为八弦心距为d,则弦心距公式为玄=7尸一a?。(3)弦长公式：/=2=2炉 工？。3.圆与圆的位置关系精 析 精 研 用 点 攻 关位置关系外离外切相交内切内含几何特征dR-rd=R-rRrdR+rd=RrOWdvR-r代数无实数一组实两组实一组实无实数特征解数解数解数解解公切线条数43210。考 向 探 究 考向一直线方程【例1 1 (1)过点A(l,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为0,则该直线的方程为()A.B.C.D.xy+1 =0%+y-3=02%y=0 或%+厂 3=02x y=0 或 x y-1 =02 0解 析 当直线过原点时，可得其斜率为丁左=2,故该直线的1()x方程为y=2%,即2%y=0。当直线不过原点时，设其方程为;十1 C士=1,由该直线过点A(l,2)可得;一)=1,解 得“=1,则该C l直线的方程为y+l=0。综上可知，该直线的方程为2%y=0或y+l=0。故选 D。答 案D(2)设点P为直线/：%+y4=0上的动点，点A(2,0),B(2,0),则|A4|十|PB|的最小值为()A.2回 B.26C.2小 D.V10解析 设点3(2,0)关于直线/的对称点为B1(a,b),则由题意得R b0三 l)=f,c 解得 亍a+2+二b4=0,：=；所以为(4,2)o因为|网+PB =PA +PB,所 以 当A,P,丛三点共线时，|网+|P8|最小，最小值为|ABI|=,(4+2)2+(20)2=2。故选 A。答 案A方法悟通(1)求直线方程主要有直接法和待定系数法。直接法是选择适当的形式，直接求出直线方程。待定系数法通常先由条件建立含参数的方程，再将条件代入求参数，即可得到直线方程。(2)求解轴对称问题要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上。【变式训练1】(1)设则“丸=一3”是“直线2人+Q与直线 6x+(l%)y=4 平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 当/1=-3时，两条直线的方程分别为6%+4y+l=0,3%+2 v-2=0,此时两条直线平行。若两条直线平行，则2z(l-A)=6(2一1)且22X(-4)#6X(1),解 得 丸=-3或4=1,经检验，两根均符合题意。综上可知，：=3”是“直 线2双十(21=1与直线6%+(lA)y=4平行的充分不必要条件。故选A。答 案A(2)当点P(3,2)到直线mxy+l 2 m=0的距离最大时，m的值为()A.3 B.0 C.-1 D.1解析 直线根%y+12/%=0可化为y=M(%2)+1,故直线过定点。(2,1)。易知当PQ和直线垂直时，点P到直线的距离2 1取得最大值，此时mkpQ=m3 2=一1，可得加=1。故选C。答 案C(3)已知实数机，满足2m一=1,则直线/nx3y+=0过定点 o解析 由已知得及=2加一1,代入根%3y+=0,得 如 一3y%+2=0,+2机-1=0,即(+2)%+(3 y 1)=0。由 彳 c ,八 得 3y 1 =0,、(n 0,2 W 1)的点M的轨迹是圆。若两定点A,B的距离 为3,动 点M满足|M A|=2|M 3|,则M点的轨迹围成区域的面积为()A.7 i B.2兀C.3兀 D.4兀解析 以A点为原点，直线A 8为轴建立平面直角坐标系,则可取3(3,0)。设M(%,y),依题意有/(x3)2+y22,化简整理得x2+y2 8 x+1 2 =0,即(4)2+/=4,圆的面积为4兀。故选D o答 案D(2)(2 0 2 0.全国II卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2%y 3=0的距离为()A.坐 B.坐J 5 5解 析 因为圆与两坐标轴都相切，点(2,1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(%)2=a2(dz0),所以(2)2+(1 a)2=。2,即6白+5=0,解得a=1或a=5,所以圆心的坐标为(1,1)12X1-1-31或(5,5),所以圆心到直线2%y3=0的距离为22+(-1)2=2小|21553|_ 2小5%2 2+(-1)2 5 故选B。答 案BE悟通求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过已知条件，利用相应的几何知识求圆的圆心，半径。(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数。【变式训练2(1)抛物线/=4%与过其焦点且垂直于轴的直线相交于A,B两点,其 准 线 与 轴 的 交 点 为 则 过M,A,B三点的圆的标准方程为 o解析 由题意知，A(l,2),3(1,-2),M(l,0),ZVIMB 是以点M为直角顶点的直角三南形，则线段AB是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(%1)2+2=4。答 案(X-1)2+7=4(2)在平面直角坐标系xO y中，以点(1,0)为圆心且与直线nvcy2加一l=0(m R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 OIm11解析 解法一：由题意得：半 径 等 于I、=+1(加+I)2m2+1/l+锂7啦，当且仅当机=1时取等号，所m +1 m+1 、以半径最大为r=啦，此时所求圆的标准方程为(%1了+尸=2。解法二：直 线 如 一y 2加一1 =0可化为y=m(%2)1,恒过 点M(2,-1),如图，设C(l,0),则M为切点时半径最大，且厂ma x =|C M=N(2 1 y +(I)三 啦,所以半径最大的圆的标准方程为(%1)2 +尸=2。答 案(X-1)2+/=2考向三 直线与圆、圆与圆的位置关系 重点微专题角 度1直线与圆相切问题【例 3】(1)已知。O：f+y 2=,点 A(O,-2),B 3 2),从点A观察点3,要使视线不被。挡住，则实数。的取值范围是()A.(-8,-2)U(2,+8)解析 易知点3在直线y=2上，过点A(0,2)作圆的切线。设切线的斜率为左，则切线方程为y=E2,即 kxy2=0o1 0-0-2 1 ,7 1+1 得 k=iy3 o所以切线方程为y=/%2,切线和直线y=2 的交点坐标分别为f_i j Ja ，,7，,2/o故要使视线不被。挡住，则 实 数a的取值范围是O O、+O O7答 案 B(2)在平面直角坐标系xOy中，已 知 过 点 的 直 线/与 圆(%+l)2 +(y 2)2=5相切，且与直线以+y 1 =0垂直，则实数a_o解析 设圆(x+l)2 +(y 2)2 =5 的圆心为C(-l,2),又点在圆(+1)2 +。-2)2=5 上，所以/_LC M,k kcM=l。则2 1鬲 X =_ 得用=2。由于直线I与直线ax+yl=o垂直,所以 2(一)=1,得”=5。答 案；方法悟通(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式。(2)过圆外一点求解切线长的问题，可先求出圆心到圆外该点的距离，再结合半径利用勾股定理计算。【变式训练3】(2 0 2 0 全国I 卷)已知。M：公+产一2%-2 y-2 =0,直线/：2%+y+2=0,尸为/上的动点。过点P作。M的切线山,P B,切点为A,B,当最小时，直线AB的方程为()A.2 x y 1 =0 B.2%+厂 1=0C.2%y+l=0 D.2 x+y+l=0解析 解法一：由。M:f+y 2 2%2 y 2=o，得。M:(X-1)2+(J-1)2=4,所 以圆 心”(1,1)。如 图，连接 A M,B M,易知 四 边 形 物M B的面积为:欲使IPMHABI最小，只需四边 形P A M B的面积最小，即 只 需 的 面 积 最 小。因为|A M|=2,所以只需|P A|最小。又|尸A|=i丽产丽=迎不7,所以只需直线2%+y+2=0上 的 动 点P到M的距离最小，其最小1 2+1 +2 1值 为 忑-=小,此 时 易 求 出 直 线 尸M的方程为2 j+l=0 o 由2 x+y+2=0,pJ 2 y+1=0,得%=-1,尸0,所以尸(一1,0)o易知P,A,M,B四点共圆，所 以 以P M为直径的圆的方程为%2+y；)=停),即X 2+,2-丁 1=。，由得，直 线A 5的 方 程 为2%+丁+1=0。故 选D。解法二：因为。M：(%1)2+l f=4,所 以 圆 心(1,1)。连 接AM,B M,易 知 四 边 形B 4 M B的 面 积 为 与 尸 欲 使最小，只需四边形出M B的面积最小，即只需雨M的面 积 最 小。因 为 AM =2,所 以 只 需|P A|最 小。又|P A|=4 F根2一依必2=4中必2 4,所以只需|P M最小，此时P M，/。因为P M L A 8,所以/A B,所以心8=-2,由F除A,C;易求出直2%+y+2=0,x=1,线PM的方程为2 y+1=0,由 ,得%2 y+l=0,注=0,所以P(一l,0)。因为点M到直线=1的距离为2,所以直线工=-1过点尸且与。M相切，所以A(一l,l)。因为点A(1,1)在直线A 8上，故排除B。故选D。答 案D角度2直线与圆相交问题【例4】设直线y “=()与圆2+),2=4相交于A,3两点,0为坐标原点，若 A Q B为等边三角形，则实数a的值为()A.ir/3 B./6C.3 D.9解 析 由题意知，圆心坐标为(0,0),半径为2,则 A Q B的边长为2,所以 A O B的高为小，即圆心到直线x-y-a=0的距离为3，所 以由-2=3,解得4 =夕同。故选B。A/1 +(-1),答 案B方法悟通(1)处理直线与圆的位置关系问题时，主要利用几何法，即利用圆心到直线的距离与半径的