概率论习题第六章
习题习题 6-16-1 1. 若总体, 从总体 X 中抽出样本 X1, X2, 问 3X1-2X2服从什么(2,9)XN: 分布? 解解 3X1-2X2N(2, 117). 2. 设 X1, X2, , Xn是取自参数为 p 的两点分布的总体 X 的样本, 问 X1, X2, , Xn的联合分布是什么? 解解 因为总体 X 的分布律为 PX=k= pk(1-p)1-k, k=0,1, 所以样本 X1, X2, , Xn的联合分布为112211111 11,(1)(1)(1)(1).nnnnii iixxxxxx nnXnXP XxXxpppppppp,=习题习题 6-26-2 1. 选择题(1) 下面关于统计量的说法不正确的是( ). (A) 统计量与总体同分布. (B) 统计量是随机变量. (C) 统计量是样本的函数. (D) 统计量不含未知参数.解解 选(A).(2) 已知 X1,X2,Xn是来自总体的样本, 则下列关系中正2( ,)XN : 确的是( ).(A) (B) ().E Xn2().D X(C) (D) 22().E S2 2().E B解解 选(C). (3) 设随机变量 X 与 Y 都服从标准正态分布, 则( ). (A) X+Y 服从正态分布. (B) X2+Y2服从分布.2(C) X2和 Y2都服从分布. (D) 服从 F 分布.222XY 解解因为随机变量 X 与 Y 都服从标准正态分布, 但 X 与 Y 不一定相互独立, 所以(A),(B),(D)都不对, 故选(C). 2. 设 X1,X2,Xn是来自总体 X 的样本, 总体 X 的均值 已知,方差 2未知. 在样本函数, , , n(+)中, 哪1ni iX1ni iX 1ni iXS 2 1X2 2X2 nX些不是统计量?解解 不是统计量.1ni iX3. 设总体 X 服从正态分布, 总体 Y 服从正态分布,2 1(,)N 2 2(,)N 和 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本, 求 112,nXXX 212,nY YY12221112()()2.nnij ijXXYY Enn 解解 因为 , 1 22111() 1ni iEXXn2 22121() 1nj jEYYn习题习题 6-36-3 1填空题 (1) 设总体,是从该总体中抽取的容量为 n 的(2, 25)XN12100,XXX样本, 则 ; ; 统计量 .()E X ()D X X解解 因为总体, 而是从该总体中抽出的简单(2, 25)XN12100,XXX随机样本, 由正态分布的性质知, 样本均值也服从正态分布, 又因为,1001111()22100)ni iiEEXnX而.1002 111125()251001)1004ni iiDDXnX所以 .1(2,)4NX(2) 设总体 X 服从正态分布,是来自 X 的简单随2( ,)N 12,nXXX机样本, 则统计量服从 分布; 服从 分布; Xn X S n服从 分布; 服从 分布.222=1 2(1)()ni inSXX 21 2()ni iX解解 由抽样分布定理知, . 再由正态分布的标准化公式 , 2 ( ,)XNn服从标准正态分布.Xn 由抽样分布定理知, 服从自由度为 n-1 的 t 分布.X S n由抽样分布定理知, 服从自由度为 n-1 的分布. 22(1)nS2由题设, 2( ,),1,2,iXNi 所以(0,1),1,2,.iXNi再由分布的定义知, 服从自由度为 n 的分布.221 2()ni iX 2(3) 设,是来自正态总体的容量为12,nXXX1,nn mXX2(0,)Nn+m 的样本, 则统计量服从的分布是 .2121ni i n mi i nmXnX 解解 因为=, 而,.2121ni i n mi i nmXnX 2121ni in mi i nXnXm 221 2( )ni iX n221 2( )n mi i nX m 由 F 分布的定义, 得到.2121( ,)ni i n mi i nmX F n m nX 2. 选择题(1) 设随机变量, 则下列关系中正确的是( ).21 ( )(1),Xt n nYX(A) . (B) .2( )Yn2(1)Yn(C) . (D) ( ,1)YF n(1, )YFn解解 由题设知, 其中, 于是UXV n2(0,1),( )UNVn=,21YX221UVV nn U这里, 根据 F 分布的定义知故应选(C).22(1)U21( ,1).YF nX(2) 设,(n),分别是标准正态分布 N(0,1)、(n)z2 ( )tn12( ,)F n n2分布、 分布和分布的上分位点, 在下列结论中错误的是( ).tF(A) . (B) (n)=1-(n).1zz 2 2 1(C) . (D) .1( )( )tntn 12 1211( ,)(,)F n nFn n 解解 应选(B).3. 在总体中随机抽取一个容量为 36 的样本, 求样本均值2(52,6.3 )N落在 50.8 到 53.8 之间的概率.X解解 因为,所以.于是, 标准化随机变量2 ( ,)XNn26.3(52,)36XN.52(0,1)6.3 36XN因此 (50.852) 6(52) 6(53.852) 650.853.86.36.36.3XPXP.10.87.2()()0.82936.36.34. 已知是来自正态总体的样本, 求概率1210,XXX2(0,)XN:.<2.82 P XS解解 由定理 1 知, 2 2 29(0,1),(9),XSN:因此 , 22(9) 99X XtSS:所以 2.82 2.8212.821 0.010.99.XXP XSPPSS
