数理统计-第五讲数理统计

教育联展网教育联展网 www.thea.cnwww.thea.cn1第五讲 数理统计考试要求1. 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.其中样本方差定义为.)(11212XXnSini 2. 了解分布、t 分布和 F 分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算.23. 了解正态总体的常用抽样分布.4. 理解经验分布函数的概念和性质, 会根据样本值求经验分布函数.5. 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.6. 掌握矩估计法（一阶、二阶矩）和最大似然的估计法.7. 了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性.8. 理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间. 9. 理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误.10. 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验一、样本与抽样分布1. 总体、个体与简单随机样本总体、个体与简单随机样本: 2. 常用统计量常用统计量:1° 样本均值 iniXnX 112° 样本方差 212)(11XXnSini 3° 样本标准差: 211()1ni iSXXn4° 样本k阶原点矩 11,1,2,n k ki iAXkn教育联展网教育联展网 www.thea.cnwww.thea.cn25° 样本k阶中心矩 11() ,1,2,n k ki iBXXkn3分位数分位数4. 重要抽样分布重要抽样分布 （1） 2（2） t 分布（3） F 分布5. 正态总体的常用抽样分布正态总体的常用抽样分布: 2 2,( ,),nXXXN 1设为来自正态总体的样本, , 则11ni iXXn2211()1ni iSXXn（1） 2 ,(0,1)./XXNNnn 或（2） 2 22 22 1(1)1() (1).ni inSXXn（3） 22 2 11() ( ).ni iXn（4） (1).Xnt nS （5） 与相互独立, 且 , , .X2S)(XE22)(SEnXD2 )(【例 1】 设总体设是来自总体 X 的一个样本, 且2( ,),XN 12,nXXX，求 .22111,()nnini iiXXSXXn2 1()nE X S【例 2】 设总体 设是取自总体 X 的一个样本, 且2( ,),XN 12,nXXX，则，则 .221111,()1nnii iiXXSXXnn2()_D S教育联展网教育联展网 www.thea.cnwww.thea.cn3【例 3】设随机变量, 则 ( )(1),Xt n n 21 _YX【例 4】 设总体 X 服从正态分布, 而是来自总体 X 的简单随)2 , 0(2N1521,XXX机样本, 求随机变量)(22 152 112 102 1 XXXXY的分布.【例 5】 设总体 设是来自总体 X 的一个样本, 且2( ,),XN 121,nnXXXX，试求统计量 的分布.* 221111, ()()nnii iiXXSXXnn1 *1 1nXXn Sn 二、参数估计二、参数估计1. 矩估计2. 最大似然估计3. 区间估计4. 估计量的评选标准 【例 6】设总体，为来自总体 X 的样本，试求的矩12( ,)XU nXXX,2112, 估计和最大似然估计.【例 7】设总体的概率密度为X ., 0, 21,1, 10, ),(xx xf 其中是未知参数, 为来自总体的简单随机样本, 记 N 为样本) 10(nXXX,2, 1X值中小于 1 的个数, 求：（1）的矩估计；（2） 的最大似然估计.nxxx,2, 1【例 8】设总体 X 的概率密度为教育联展网教育联展网 www.thea.cnwww.thea.cn436(),0,( ) 0,xxxf x .为来自 X 的简单随机样本，nXXX,21（1） 求的矩估计量；（2） 判断的无偏性;（3） 判断的一致性.三、假设检验三、假设检验 1. 假设检验的基本思想：对总体分布中的未知参数作出某种假设，根据样本在假设为真的前提下构造一个小概率事件，基于“小概率事件”在一次试验中几乎不可能发生而对假设作出拒绝或接受. 2. 单个正态总体均值和方差的假设检验. 3. 假设检验两类错误：第一类错误：原假设为真，但拒绝了.0H0H第二类错误；原假设为假，但接受到了.0H0H