高等数学 4-1.高斯消元法

第一节 高斯消元法 一、消元法解线性方程组 二、线性方程组有解的判定条件 三、线性方程组解法 四、小结 思考题引例一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程解用“回代”的方法求出解：于是解得(2)小结：1上述解方程组的方法称为消元法2始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序；（2）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍（ 与 相互替换）（以 替换 ）（以 替换 ）3上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的故这三种 变换是同解变换因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组 的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算 若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方 程组（1）的增广矩阵）的变换二、线性方程组有解的判定条件问题：证必要性. ( ),nDnAnAR阶非零子式中应有一个则在设= (),根据克拉默定理个方程只有零解所对应的 nDn从而这与原方程组有非零解相矛盾， ( ).nAR<即充分性.( ),nrAR<=设.个自由未知量从而知其有rn-任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，即可得方程组的一个非零解 .证必要性,有解设方程组bAx =( )( ),BRAR<设则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾 方程，这与方程组有解相矛盾.( )( ).BRAR=因此并令 个自由未知量全取0，rn-即可得方程组的一个解充分性.( )( ),BRAR=设 ( )( )(),nrrBRAR£=设证毕其余 个作为自由未知量,把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量,小结有唯一解bAx =( )( )nBRAR=Û( )( )nBRAR<=Û有无穷多解.bAx =齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵 ，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；例1 求解齐次线性方程组解三、线性方程组的解法即得与原方程组同解的方程组由此即得例 求解非齐次线性方程组解对增广矩阵B进行初等变换，故方程组无解例 求解非齐次方程组的通解解 对增广矩阵B进行初等变换故方程组有解，且有所以方程组的通解为例 解证对增广矩阵B进行初等变换，方程组的增广矩阵为由于原方程组等价于方程组由此得通解：例 设有线性方程组解其通解为这时又分两种情形：( )( )nBRAR=Û ( )( )nBRAR<=Û有无穷多解.bAx =非齐次线性方程组齐次线性方程组三、小结思考题思考题解答解故原方程组的通解为