2024年新高考数学二轮专题复习 数列不等式放缩题型分类（原卷版+解析版）

1数列不等式放缩题型分类考点分析考点分析由函数不等式化为数列不等式的方法由函数不等式化为数列不等式的方法x1lnxln(1+x)x,(x1)取：取：x=1n则：则：1nln(n+1)n取：取：x=1n+1则：则：1n+1ln(n+1)n题型一：指对数不等式化为数列不等式题型一：指对数不等式化为数列不等式【精选例题】【精选例题】1 1建筑师高迪曾经说：直线属于人类，而曲线属于上帝，一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由y=lnx在点(0,1)处的切线y=x-1写出不等式lnxx-1，进而用n+1n替换x得到一系列不等式，叠加后有ln(n+1)1+12+13+1n这些不等式同样体现数学之美运用类似方法推导，下面的不等式正确的有()A.n!en n-12B.12+13+1nlnnC.1+1n21+2n2 1+nn2e34D.122+233+nn+1n+1ln n+1，其中nN*23 3已知函数 f(x)=ex-12ax2-x.(1)若 f(x)在xR R上单调递增，求a的值；(2)证明：(1+1)1+14 1+1n2e2(nN*且n2).4 4已知函数 f x=12x2-xlnx+t tR R.(1)g x是 f x的导函数，求g x的最小值；(2)证明：对任意正整数n n2，都有 1+122 1+132 1+142 1+1n2e(e=2718；nN*)6 6已知函数 f x=ln x+1-xx+1.(1)求 f x的极值；(2)对任意的nN*，求证：1n+1+1n+2+12n1-1n+1，nN+8 8已知函数 f x=alnx+a-1x.(1)若xf xx-1恒成立，求a的取值范围；(2)当a=1时，证明：f 22+f 33+f nnn2+12n+2-1924.5【跟踪训练】【跟踪训练】1利用“lnxx-1”可得到许多与n(n2且nN*)有关的结论ln n+112+13+1n，1+121+122 1+12ne，1nn+2nn+nnn0)(1)若 f(x)0在1，+)上恒成立，求实数a的取值范围；(2)证明：1+13+15+12n-112ln(2n+1)+n2n+1(nN*)63已知 f x=ln 1+x-x.(1)证明：f x0；(2)证明：n2时，lnn12+13+14+12n-1.4已知函数 f x=x-1-alnx，aR.(1)若 f x存在极值，求a的取值范围；(2)若 f x0，求a的值；(3)对于任意正整数n，是否存在整数m，使得不等式 1+121+122 1+12nm成立？若存在，请求出m的最小值；若不存在，请说明理由.75已知函数 f x=xlnx-m x-1，且 f x0.(1)求实数m的取值范围；(2)设k为整数，且对任意正整数n，不等式 1+131+132 1+13nk恒成立，求k的最小值；(3)证明：2023202420241e18+227+n-1n387已知函数 f x=ln x+1-axex,0a1(1)判断函数 f x的零点个数；(2)证明：当nN,n1时，证明：ln1+ln2+ln3+lnn0时，f(x)0恒成立，求正整数k的最大值；()证明：(1+12)(1+23)1+n(n+1)en 2-3n+19题型二：三角函数不等式化为数列不等式题型二：三角函数不等式化为数列不等式【精选例题】【精选例题】1 1已知函数 f x=sinx-axx+20 x0，求a的取值范围；(3)证明：23-22n+3nk=1sin1k k+11.2 2已知函数 f x=xlnx-a x-1.(1)若 f x0，求实数a的值；(2)已知nN N*且n2，求证：sin12+sin13+sin1nlnn.103 3已知函数 f x=tanx+ln 1-x,x-2,1.(1)求 f x的极值；(2)求证：lnn+12tan12+tan13+tan1n-1时，f xg x，求实数a的取值范围；(2)已知nN N*，证明：sin1n+1+sin1n+2+sin12nln2.112已知函数 f(x)=sinx-x+16x3(1)证明：对x0,+),f(x)0恒成立；(2)是否存在nN N，使得ln2sin113+sin124+sin1n(n+2)1)取：取：x=1n则：则：1nln(n+1)n取：取：x=1n+1则：则：1n+1ln(n+1)n题型一：指对数不等式化为数列不等式题型一：指对数不等式化为数列不等式【精选例题】【精选例题】1 1建筑师高迪曾经说：直线属于人类，而曲线属于上帝，一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由y=lnx在点(0,1)处的切线y=x-1写出不等式lnxx-1，进而用n+1n替换x得到一系列不等式，叠加后有ln(n+1)1+12+13+1n这些不等式同样体现数学之美运用类似方法推导，下面的不等式正确的有()A.n!en n-12B.12+13+1nlnnC.1+1n21+2n2 1+nn2e34D.122+233+nn+1n+11时，fx0，当0 x1时，fx0，故 f x=x-1-lnx在 0,1上单调递减，在 1,+上单调递增，故 f x=x-1-lnx在x=1处取得极小值，也是最小值，f(x)min=0，故lnxx-1，当且仅当x=1时等号成立，A选项：n=1时不等式左右两端相等，故A错误；B选项：将lnxx-1中的x替换为1-x，可得ln 1-x1-x-1=-x,x1，当且仅当x=0时等号成立，令x=1n0，可得ln 1-1n1n，故ln2-ln1+ln3-ln2+lnn-ln n-112+13+1n，其中ln2-ln1+ln3-ln2+lnn-ln n-1=lnn-ln1=lnn，所以lnn12+13+1n，B正确；C选项：将lnxx-1中的x替换为1+in2，显然1+in21，2则ln 1+in2in2，故ln 1+1n2+ln 1+2n2+ln 1+nn2n n+12n2，当n2时，n n+12n2=12+12n34，故 1+1n21+2n2 1+nn2e34成立；当n=1时，2=1614 e314=e34显然成立，故1+1n21+2n2 1+nn2e34,C正确；D选项：将lnxx-1中的x替换为n-1n，其中，nN*且n2，则lnn-1n-1n，则nlnn-1n-1，故n-1nn1e，则122+233+nn+1n+1121e，D错误.故选：BC2 2已知函数 f x=lnx-ax+1，其中aR(1)若函数 f x的图象恒不在x轴上方，求实数a的取值范围；(2)证明：1+12+13+1nln n+1，其中nN*【答案】(1)1,+；(2)证明见解析【详解】(1)解：由函数 f x的图象恒不在x轴上方，且 f x=lnx-ax+1，即 f x=lnx-ax+10恒成立，即alnx+1x在 0,+上恒成立，令g x=lnx+1x,(x0)，可得gx=-lnxx2，当x 0,1时，gx0；当x 1,+时，gxlnn+1n，所以1+12+13+1nln21+ln32+ln43+lnn+1n=ln(213243n+1n=ln n+1，即当nN时，1+12+13+1nln n+13 3已知函数 f(x)=ex-12ax2-x.(1)若 f(x)在xR R上单调递增，求a的值；(2)证明：(1+1)1+14 1+1n2e2(nN*且n2).【答案】(1)1；(2)证明见解析.【详解】(1)函数 f(x)=ex-12ax2-x，求导得 f(x)=ex-ax-1，由于函数 f x在R R上单调递增，则 fx=ex-ax-10恒成立，令h x=ex-ax-1，则hx=ex-a，当a=0时，fx=ex-1，当x0时，fx0，不满足条件；当a0，h x在R上单调递增，又h1a=e1a-a1a-13=e1a-20，即 f1a0时，令hx=0，得x=lna，则当xlna时，hxlna时，hx0，h x单调递增，于是当x=lna时，h x取得最小值h lna=elna-alna-1=a-alna-1，于是h lna0，即a-1-alna0，令u a=a-1-alna，则ua=-lna，当0a0，u a单调递增；a1时，ua0时，ln x+1x，因此当nN N*且n2时，ln1+11+14 1+1n2=ln 1+1+ln 1+14+ln 1+1n21+14+1n2，而当n2时，1n21n n-1=1n-1-1n，所以1+14+1n21+1-12+12-13+1n-1-1n=1+1-1n2，则ln1+11+14 1+1n22，所以，1+11+14 1+1n2e2.4 4已知函数 f x=12x2-xlnx+t tR R.(1)g x是 f x的导函数，求g x的最小值；(2)证明：对任意正整数n n2，都有 1+122 1+132 1+142 1+1n20，gx=1-1x=x-1x，令gx=0，解得x=1，又x 0,1时，gx0，所以g x在0,1上单调递减，在 1,+单调递增，g xg 1=0，即g x的最小值为0.(2)证明：由(1)得，g x=x-1-lnx0，可知x-1lnx，当且仅当x=1时等号成立，令x=1+1k21，则ln 1+1k21k21k k-1=1k-1-1k,k=2,3,4,n.ln 1+122+ln 1+132+ln 1+142+ln 1+1n2 1-12+12-13+13-14+1n-1-1n=1-1n1，即ln 1+122+ln 1+132+4ln 1+142+ln 1+1n21，也即ln1+1221+1321+142 1+1n2lne，所以 1+1221+1321+1421+1n2e，故对任意正整数n n2，都有 1+122 1+132 1+142 1+1n2e(e=2718；nN*)【答案】(1)单调递减区间 0,1，单调递增区间 1,+；(2)答案见解析；(3)证明见解析.【详解】(1)当a=-1时，f x=1x+lnx定义域为 0,+，求导得 fx=-1x2+1x=x-1x2，当x 0,1时，fx0，即 f x在 0,1上递减，在 1,+递增，所以函数 f x的单调递减区间为 0,1，单调递增区间为 1,+(2)x 0,e，f x=1x-alnx，求导得 f(x)=-1x2-ax=-ax+1x2，当a0时，fx0恒成立，即函数 f x在 0,e上单调递减，因此 f xmin=f e=1e-a；当a0时，由 fx=0，得x=-1a，当-1ae，即-1ea0时，fx0，函数 f x在 0,e上单调递减，因此 f xmin=f e=1e-a；当0-1ae，即a-1e时，由 fx0，得x-1a,e，即函数f x在 0,-1a上单调递减，在-1a,e上单调递增，因此 f xmin=f-1a=-a-aln-1a，所以当a-1e,+时，f xmin=1e-a，当a-,-1e时，f xmin=-a-aln-1a.(3)由(1)知，当a=-1时，f x=1x+lnx在x=1处取得最小值 f 1=1，即1x+lnx1，于是lnx1-1xx0，nN，令x=1+1n，则有ln 1+1n1-11+1n=1n+1，因此(n+1)ln 1+1n1，即ln 1+1nn+11，所以 1+1nn+1e6 6已知函数 f x=ln x+1-xx+1.5(1)求 f x的极值；(2)对任意的nN*，求证：1n+1+1n+2+12nln2.【答案】(1)极小值0，无极大值；(2)证明见解析【详解】(1)因为 f(x)=ln(x+1)-xx+1=ln(x+1)+1x+1-1，则 f(x)=1x+1-1(x+1)2=x(x+1)2，当x(-1，0)时，f(x)0，故 f(x)在(-1，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增，故 f(x)在x=0处取得极小值 f(0)=0，无极大值.(2)由(1)知 f(x)在(0，+)上单调递增