江苏省南通市2023-2024学年高二下学期3月学情调研数学试题(1)

20232024 学年度第二学期三月份学情 调研高二数学一、单项选择题1 若数列 是等差数列，且 a4 = 2, a8 = 12 ，则 a12 = ( )A 30 B C 20 D . 2 若直线l 的一个方向向量u- = (1, 0, 1) ，平面 的一个法向量n- = (0, -1, 1) ，则l 与 所成角为( )A 或 或 3 已知M 为双曲线 = 1上一动点，则M 到点 和到直线x =1 的距离之比为( )A 1 B 2 C 3 D 24 2023 年 12 月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做 大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化的法制报告，报告后杨教授与四名男生、 两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男 1 女，则总的 站排方法共有( )A 300 B 432 C 600 D 8645 已知直线y = kx + b 既是曲线y = ln x 的切线，也是曲线y = - ln(-x) 的切线，则( )A b = 0 B k = 1 ，b = 0C b = -1 D k = 1 ，b = -16 如图，在四面体P - ABC 中，PA 丄 平面ABC, AC 丄 CB, PA = AC = 2BC = 2 ，则此四 面体的外接球表面积为( )A 3 B 9 C 36 D 48试卷第 1 页，共 4 页7 函数f 的部分图象可能为 ( )试卷第 2 页，共 4 页A .C .D .B .8 设函数 x2 - 4x + a ln x ，若函数y = f (x) 存在两个极值点x1, x2 ，且不等式 恒成立，则 t 的取值范围为( ).C D (-, -13二、多项选择题9 甲、乙、丙等6 人排成一列，下列说法正确的有( )A 若甲和乙相邻，共有240 种排法 B 若甲不排第一个共有480 种排法C 若甲与丙不相邻，共有480 种排法 D 若甲在乙的前面，共有360 种排法10 设函数y = f (x)在R 上可导，其导函数为y = f , (x) ，且函数g(x) = (x - 2)f , (x) 的图象如图所示，则下列结论正确的有( )A y = f (x)仅有两个极值点B y = f (x)有两个极大值点C x = 1 是函数y = f (x) 的极大值点D x = 2 是函数y = f (x) 的极大值点11 如图，在平行六面体ABCD - A1B1C1D1 中，已知AB = AD = AA1 = 1，上A1AD = 上A1AB = 上BAD = 60。，E 为棱CC1 上一点，且 C(-) = 2E- ，则( )A A1E 丄 BD B A1E 丄 平面BDD1B1C BD1 = D 直线BD1 与平面ACC1A1 所成角为 三、填空题12 甲、乙、丙、丁、戊 5 名学生进行某种劳动技能比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙 说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5 人的名次排列共可能有 种不同试卷第 3 页，共 4 页的情况.（用数字作答）y213 斜率为 k 的直线 l 与抛物线= 4x 相交于 A ，B 两点，与圆(x - 5)2 +y2 = 9 相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点，则k = .14 已知函数f (x) = xa - logb x （ a > 0 ，b > 0 ）且b 1），若f (x ) 1 恒成立，则ab 的最小值为 .四、解答题15 已知函数f (x) = x2 + ax - 2lnx (a R)(1)当a =0 时，求函数f (x) 的极值；(2)若函数f (x)在区间1, 2 上是减函数，求实数a 的取值范围；16 已知A1 (-2, 0) 是椭圆M : + = 1(a > b > 0) 的左顶点，且M 经过点 (1)求M 的方程；(2)若直线l : y = k 与M 交于A 两点，且 = -1 ，求弦AB 的长.17 已知函数f (x) = ax ln(1+ x) + x2 + x, a R .(1)求曲线y = f (x) 在点(0, f (0) 处的切线方程；(2)若函数f(x) 有三个零点，求实数 a 的取值范围.18 如图，三棱柱ABC-A1B1C1 中，侧面BB1C1C 为矩形，底面 ABC 为等边三角形.(1)证明：A1B = A1C ；(2)若A1C 丄 A1B ，A1A = AB = 2 ，证明：平面A1BC 丄 平面 ABC；求平面 ABC 与平面A1BC1 的夹角的余弦值.19 已知集合A = a1, a2, , an , , B = b1, b2, , bn , , an 是公比为 2 的等比数列且a2 + 3, a3 +1, a4 - 3 构成等比数列.(1)求数列an 的通项公式；(2)设bn 是等差数列，将集合A B 的元素按由小到大的顺序排列构成的数列记为 cn .若bn = 5n -1，数列cn 的前n 项和为Sn ，求使Sn 2024 成立的n 的最大值；若A B = ,数列cn 的前 5 项构成等比数列，且c1 = 1, c9 = 8 ，试写出所有满足条 件的数列bn .试卷第 4 页，共 4 页1 A【分析】利用等差中项列式求解即可. 数列 是等差数列，则 是 和 的等差中项， 有 ，即2 × , 解得a12 = 30 .故选：A2 A【分析】根据线面角的坐标计算公式求解即可.【详解】设l 与 所成角为因为直线l 的一个方向向量 = (1, 0, 1) ，平面 的一个法向量 = (0, -1, 1) ， 所以sin= 因为0 ,所以 . 故选：A3 C【分析】在双曲线上任取点 ，则 利用两点之间距离公式和点到直线距离公式计算化简即得.【详解】在双曲线上任一点 ，则 ，则点M(x, y) 到点(3, 0) 和到直线x =1 的距离之比为：故选:C.4 B【分析】根据特殊原元素先排列，4 名男生、两名女生平均分组再排序的原则得出结果. 【详解】杨教授站中间，只有 1 种方法；四名男生分成两组放在两边方法数 两名女生放在两边方法数A2(2) ，答案第 1 页，共 14 页每一边两名男生与一名女生再排序，得出总的方法数为 = 432 .故选：B.5 A【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可. 【详解】设直线与曲线 y = ln x 的切点为(x1, ln x1 ) 且x1 > 0 ，与曲线y = - ln(-x) 的切点为(x2, - ln(-x2 ) 且x2 < 0 ，则直线y = kx + b 与曲线y = ln x 的切线方程为y - ln x1 = ，即y = x + ln x1 -1， 直线y = kx + b 与曲线y = - ln(-x) 的切线方程为y + ln 即则 1- ln 解得 故 , b = ln x1 -1 = 0 ，故选：A.6 B【分析】将四面体 P - ABC 补形成长方体，长方体的长、宽、高分别为2 、1 、2 ，长方体的 外接球即为四面体的外接球，而长方体外接球的直径即为其体对角线，求出外接球的直径， 即可求出外接球的表面积.【详解】将四面体 P - ABC 补形成长方体，长方体的长、宽、高分别为2 、1 、2 ，四面体P - ABC 的外接球即为长方体的外接球，而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为R ， 故 所以外接球表面积为S = 4R2 = 9 .答案第 2 页，共 14 页故选：B.7 A【分析】根据 f (|( ),| = 0 、 在 的单调性可判断出答案. 由f = 0 ，排除 B ，C；当 时，-2sin x - 4x cos x < 0 ，即f , < 0 ，故f 在(|(0, ),| 上单调递减，排除 D，故选：A .8 B【分析】先利用函数y = f (x)存在两个极值点，转化为函数f (x)的导函数在(0, +) 上有两 个不相等的实数根，利用一元二次方程根与系数的关系，用字母a 表示出x1 + x2 ，x1x2 ，然后把 写成关于a 的函数，求该函数的最小值即可得到问题答案.【详解】函数的定义域为 ，且f , = x - 4 + ，x > 0 .因为函数y = f (x)存在两个极值点，所以方程：x2 - 4x + a = 0 在(0, +) 有两个不同的解，且x1 + x2 = 4 ，x1x2 = a .设h(x) = a ln a - a - 8 (0 < a < 4) ，答案第 3 页，共 14 页则h, (x) = ln a ，由h, (x) = ln a < 0 ，得 0 < a < 1，由h, (x) = ln a > 0 得1< a < 4 .所以h(x)在(0, 1) 上单调递减，在(1, 4) 上单调递增， 所以h(x) 的最小值为：h (1) = -9 .所以 .故选：B【点睛】关键点点睛：该问题先利用函数存在两个极值点，把问题转化为二次函数在给定区 间上有两个不相等的实数根的问题，再利用一元二次